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2014-2015學年江蘇省徐州市睢寧縣新世紀中學九年級（上）第二次月考數學試卷
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）每題有且只有一個正確答案，請把你認為正確的答案前面的字母填入上表相應的空格內.
1．下列交通標志中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（　　）
　 A．   B．   C．   D． 
　
2．下列計算正確的是（　　）
　 A． 3 ? =3 B． 5 ×5 =5  C．  ÷ =2 D．  =?6
　
3．如果兩圓的半徑長分別為7和5，圓心距為3，那么這兩個圓的位置關系是（　　）
　 A． 相切 B． 外離 C． 內含 D． 相交
　
4．“愛運動，強身體”，在我校的運動會中，某班一名200米短跑選手賽前進行了刻苦訓練，體育老師對他10次訓練成績進行統計分析，判斷他的成績是否穩定，則需要知道他這10次成績的（　　）
　 A． 平均數 B． 方差 C． 眾數 D． 中位數
　
5．如圖，△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB=50°，點D是弧BAC上一點，則∠D的度數是（　　）
 
　 A． 40° B． 50° C． 80° D． 20°
　
6．用配方法解方程：x2?4x+2=0，下列配方正確的是（　　）
　 A． （x?2）2=2 B． （x+2）2=2 C． （x?2）2=?2 D． （x?2）2=6
　
7．S型電視機經過連續兩次降價，每臺售價由原來的1500元降到了980元．設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（　　）
　 A． 1500（1+x）2=980 B． 980（1+x）2=1500 C． 1500（1?x）2=980 D． 980（1?x）2=1500
　
8．如圖，將一張等腰梯形紙片沿中位線剪開，拼成一個新的圖形，這個新的圖形可以是下列圖形中的（　　）
 
　 A． 三角形 B． 平行四邊形 C． 矩形 D． 正方形
　
9．如圖，扇形OAB是圓錐的側面展開圖，若小正方形方格的邊長為1cm，則這個圓錐的底面半徑為（　　）
 
　 A． 2 cm B．  cm C．  cm D．  cm
　
10．已知m，n是方程x2?2x?1=0的兩根，且（7m2?14m+a）（3n2?6n?7）=8，則a的值等于（　　）
　 A． ?5 B． 5 C． ?9 D． 9
　
　
二、填空題（每小題4分，共32分）將答案填寫在題中橫線上.
11．若式子 在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是　　　　　　．
　
12．若x=2是方程x2?x+a2?3=0的解，則a=　　　　　　．
　
13．若實數x、y滿足 +（y?2011）2=0，則xy=　　　　　　．
　
14．已知菱形的邊長和一條對角線的長均為4cm，則菱形的面積為　　　　　　．
　
15．如圖，CD是⊙O的弦，直徑AB過CD的中點M，若∠BOC=40°，則∠ABD=　　　　　　．
 
　
16．如圖，在△ABC中，∠C=120°，CA=CB=6，分別以A，B，C為圓心，以3為半徑畫弧，三條弧與AB所圍成的陰影部分的周長是　　　　　　．
 
　
17．直角三角形的兩條邊長分別為6和8，那么這個三角形的外接圓半徑為　　　　　　
　
18．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，將矩形折疊，使B點落在AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC（含端點）交于F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點的△BEF，稱為矩形ABCD的“折痕三角形”．當折痕△BEF的面積最大時，AE的長為　　　　　　．
 
　
　
三、解答題（共9小題，滿分78分）
19．計算：（π?1）0+ + ?2 ．
　
20．解方程：
（1）x2?6x?2=0
（2）（x?3）2+（x?3）=0．
　
21．已知一元二次方程x2?2x+m=0．
（1）若方程有兩個實數根，求m的范圍；
（2）為m選取一個非負整數，使方程有兩個不相等的實數根，并求這兩個根．
　
22．如圖，水平放置的一個油管的截面半徑為13cm，其中有油部分油面寬AB為24cm，求油的最大深度．
 
　
23．一次期中考試中，A、B、C、D、E五位同學的數學、英語成績等有關信息如下表所示：（單位：分）
 A B C D E 平均分 標準差
數學 71 72 69 68 70 70 
英語 88 82 94 85 76  6
（1）求這五位同學在本次考試中英語成績的平均分和數學成績的標準差；
（2）為了比較不同學科考試成績的好與差，采用標準分是一個合理的選擇，標準分的計算公式是：標準分=（個人成績?平均成績）÷成績標準差．
從標準分看，標準分大的考試成績更好．請問A同學在本次考試中，數學與英語哪個學科考得更好？
　
24．如圖，在△ABC中，AB=AC，點E，F分別在AC，AB上，EF∥BC，將△AEF向上翻折，得到△A′EF，再展開．
（1）求證：四邊形AEA′F是菱形；
（2）直接寫出當等腰△ABC滿足什么條件時，四邊形AEA′F將變成正方形？
（3）當點A′恰好落在BC上時，直接寫出EF與BC的數量關系．
 
　
25．某批發商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發商為增加銷售量，決定降價銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格；第二個月結束后，批發商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元，設第二個月單價降低x元．
（1）填表：（不需化簡）
時間   第一個月 第二個月  清倉時
 單價（元）  80   40
 銷售量（件）  200  
（2）如果批發商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？
　
26．如圖，已知：矩形ABCD中，AD=12，DC=10，矩形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，點G以2cm/s的速度從D點向C點運動．
 
（1）若點H是AD上一定點，且AH=2，當運動時間t=1時，四邊形EFGH的形狀是　　　　　　．
（2）若點H是AD上一定點，且AH=2，點G點運動多長時間后，AE的長度為8？
（3）如圖2，若點H同時也在從A向D以1cm/s的速度運動，連接BF，假設運動的時間為t，求出t為何值時△BEF的面積為25．
　
27．等腰直角△ABC和⊙O如圖①放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現△ABC以每秒2個單位的速度向右移動．
 
（1）①　　　　　　秒后邊AB所在的直線與⊙O相切．
②當△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時，如圖②，切點為E，連接OE并延長OE交直線BC于點F，設C′D=x，則FC′=　　　　　　（用含x的代數式表示），求點B移動的距離．
（2）現△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位的速度沿BA、BC方向增大．
①若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經過了多少時間？
②是否存在某一時刻，△ABC各邊剛好與⊙O都相切？若存在，求出剛好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由．
　
　
 
2014-2015學年江蘇省徐州市睢寧縣新世紀中學九年級（上）第二次月考數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）每題有且只有一個正確答案，請把你認為正確的答案前面的字母填入上表相應的空格內.
1．下列交通標志中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（　　）
　 A．   B．   C．   D． 

考點： 中心對稱圖形；軸對稱圖形．
分析： 根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解答： 解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：A．
點評： 此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
　
2．下列計算正確的是（　　）
　 A． 3 ? =3 B． 5 ×5 =5  C．  ÷ =2 D．  =?6

考點： 二次根式的加減法；二次根式的乘除法．
分析： 分別利用二次根式的加減以及乘除運算法則進而化簡得出即可．
解答： 解：A、3 ? =2 ，故此選項錯誤；
B、5 ×5 =25 ，故此選項錯誤；
C、 ÷ = =2，故此選項正確；
D、 =?6，故此選項錯誤；
故選：C．
點評： 此題主要考查了二次根式的加減以及乘除運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．
　
3．如果兩圓的半徑長分別為7和5，圓心距為3，那么這兩個圓的位置關系是（　　）
　 A． 相切 B． 外離 C． 內含 D． 相交

考點： 圓與圓的位置關系．
分析： 由兩個圓的半徑分別為7和5，圓心距為3，根據兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系即可得出兩圓位置關系．
解答： 解：∵兩個圓的半徑分別為3和4，圓心距為5，
又∵7+5=12，7?5=2，2＜3＜12，
∴這兩個圓的位置關系是相交．
故選D．
點評： 此題考查了圓與圓的位置關系．此題比較簡單，解題的關鍵是注意掌握兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系．
　
4．“愛運動，強身體”，在我校的運動會中，某班一名200米短跑選手賽前進行了刻苦訓練，體育老師對他10次訓練成績進行統計分析，判斷他的成績是否穩定，則需要知道他這10次成績的（　　）
　 A． 平均數 B． 方差 C． 眾數 D． 中位數

考點： 統計量的選擇．
分析： 根據眾數、平均數、中位數、方差的概念分析．
解答： 解：平均數、眾數、中位數是反映一組數據的集中趨勢，只有方差是反映數據的波動大小的．故為了判斷成績是否穩定，需要知道的是方差．
故選B．
點評： 此題考查統計學的相關知識．注意：方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．
　
5．如圖，△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB=50°，點D是弧BAC上一點，則∠D的度數是（　　）
 
　 A． 40° B． 50° C． 80° D． 20°

考點： 圓周角定理．
分析： 欲求∠D的度數，需先求出同弧所對的∠A的度數；Rt△ABC中，已知∠ACB的度數，即可求得∠A，由此得解．
解答： 解：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°；
∴∠A=90°?∠ACB=40°；
∴∠D=∠A=40°．
故選A．
點評： 此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質．此題比較簡單，注意掌握直徑所對的圓周角是直角與在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應用是解此題的關鍵．
　
6．用配方法解方程：x2?4x+2=0，下列配方正確的是（　　）
　 A． （x?2）2=2 B． （x+2）2=2 C． （x?2）2=?2 D． （x?2）2=6

考點： 解一元二次方程-配方法．
專題： 配方法．
分析： 在本題中，把常數項2移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數?4的一半的平方．
解答： 解：把方程x2?4x+2=0的常數項移到等號的右邊，得到x2?4x=?2，
方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到x2?4x+4=?2+4，
配方得（x?2）2=2．
故選：A．
點評： 配方法的一般步驟：
（1）把常數項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．
　
7．S型電視機經過連續兩次降價，每臺售價由原來的1500元降到了980元．設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（　　）
　 A． 1500（1+x）2=980 B． 980（1+x）2=1500 C． 1500（1?x）2=980 D． 980（1?x）2=1500

考點： 由實際問題抽象出一元二次方程．
專題： 增長率問題．
分析： 本題可先列出第一次降價的售價的代數式，再根據第一次的售價列出第二次降價的售價的代數式，然后根據已知條件即可列出方程．
解答： 解：依題意得：第一次降價的售價為：1500（1?x），
則第二次降價后的售價為：1500（1?x）（1?x）=1500（1?x）2，
∴1500（1?x）2=980．
故選C．
點評： 本題考查的是一元二次方程的運用，要注意題意指明的是降價，應該是1?x而不是1+x．
　
8．如圖，將一張等腰梯形紙片沿中位線剪開，拼成一個新的圖形，這個新的圖形可以是下列圖形中的（　　）
 
　 A． 三角形 B． 平行四邊形 C． 矩形 D． 正方形

考點： 圖形的剪拼．
分析： 利用等腰梯形的性質，采用排除法進行分析．
解答： 解：A、把等腰梯形沿中位線剪開后形成了兩個等腰梯形，不可能拼成三角形，故A選項錯誤；
B、把等腰梯形沿中位線剪開，然后下半部分不動，上半部分倒轉過來，與下半部分拼在一起，得到一個平行四邊形，故B選項正確；
C、兩個等腰梯形的角不可能為90°，不能拼出矩形，故C選項錯誤；
D、兩個等腰梯形的角不可能為90°，不能拼出正方形，故D選項錯誤；
故選：B．
點評： 本題主要考查等腰梯形的性質及中位線定理的理解及運用，解答本題的關鍵是熟練掌握等腰梯形的性質，利用實際圖形進行剪拼可直觀的得到答案．
　
9．如圖，扇形OAB是圓錐的側面展開圖，若小正方形方格的邊長為1cm，則這個圓錐的底面半徑為（　　）
 
　 A． 2 cm B．  cm C．  cm D．  cm

考點： 弧長的計算；勾股定理．
專題： 壓軸題．
分析： 用“此扇形的弧長等于圓錐底面周長”作為相等關系，求圓錐的底面半徑．
解答： 解：設圓錐的底面半徑為r，
則2πr= ，
所以r= cm．
故選C．
點評： 圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．
　
10．已知m，n是方程x2?2x?1=0的兩根，且（7m2?14m+a）（3n2?6n?7）=8，則a的值等于（　　）
　 A． ?5 B． 5 C． ?9 D． 9

考點： 一元二次方程的解．
分析： 先分別把m，n代入方程得到關于m，n的等式，利用整體思想分別求出7m2?14m=7（m2?2m）=7，3n2?6n=3（n2?2n）=3，代入所求代數式即可求解．
解答： 解：∵m，n是方程x2?2x?1=0的兩根
∴m2?2m=1，n2?2n=1
∴7m2?14m=7（m2?2m）=7，3n2?6n=3（n2?2n）=3
∵（7m2?14m+a）（3n2?6n?7）=8
∴（7+a）×（?4）=8
∴a=?9．
故選C．
點評： 本題考查了一元二次方程根的意義．把方程的兩個根分別代入原方程等式仍然成立，根據此得到需要的等量關系是常用的方法之一．
　
二、填空題（每小題4分，共32分）將答案填寫在題中橫線上.
11．若式子 在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是　x≤1　．

考點： 二次根式有意義的條件．
分析： 先根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
解答： 解：∵式子 在實數范圍內有意義，
∴1?x≥0，
解得x≤1．
故答案為：x≤1．
點評： 本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數是非負數是解答此題的關鍵．
　
12．若x=2是方程x2?x+a2?3=0的解，則a=　±1　．

考點： 一元二次方程的解．
專題： 計算題．
分析： 根據一元二次方程的解的定義，把x=2代入方程得到關于a的一元二次方程，然后解此方程即可．
解答： 解：把x=2代入x2?x+a2?3=0得4?2+a2?3=0，
解得a=1或a=?1．
故答案為±1．
點評： 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
　
13．若實數x、y滿足 +（y?2011）2=0，則xy=　?1　．

考點： 非負數的性質：算術平方根；非負數的性質：偶次方．
專題： 計算題．
分析： 根據非負數的性質列出方程求出x、y的值，代入所求代數式計算即可．
解答： 解：根據題意得：x+1=0且y?2011=0，
解得：x=?1，y=2011，
則原式=?1．
故答案是：?1．
點評： 本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．
　
14．已知菱形的邊長和一條對角線的長均為4cm，則菱形的面積為　8 cm2　．

考點： 菱形的性質．
專題： 計算題．
分析： 如圖，AC為菱形ABCD的對角線，且AB=AC=4cm，根據菱形的性質得AB=BC=AC，則可判斷△ABC為等邊三角形，根據等邊三角形的面積公式可計算菱形的面積．
解答： 解：如圖，AC為菱形ABCD的對角線，且AB=AC=4cm，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC=AC=4cm，
∴△ABC為等邊三角形，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2× ×42=8 （cm2）．
故答案為8 cm2．
 
點評： 本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的面積等于對角線乘積的一半．
　
15．如圖，CD是⊙O的弦，直徑AB過CD的中點M，若∠BOC=40°，則∠ABD=　70°　．
 

考點： 圓周角定理；垂徑定理．
分析： 由CD是⊙O的弦，直徑AB過CD的中點M，根據垂徑定理即可得AB⊥CD，又由圓周角定理，可求得∠BDC的度數，繼而求得答案．
解答： 解：∵CD是⊙O的弦，直徑AB過CD的中點M，
∴AB⊥CD，
∵∠BDC= ∠BOC= ×40°=20°，
∴∠ABD=90°?∠BDC=70°．
故答案為：70°．
點評： 此題考查了圓周角定理與垂徑定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
　
16．如圖，在△ABC中，∠C=120°，CA=CB=6，分別以A，B，C為圓心，以3為半徑畫弧，三條弧與AB所圍成的陰影部分的周長是　3π+6 ?6　．
 

考點： 扇形面積的計算．
分析： 根據圖形和弧長的計算公式進行計算即可．
解答： 解：∵∠C=120°，CA=CB，
∴∠A=∠B=30°，AB=6 ，
∴三條弧與AB所圍成的陰影部分的周長= + ×2+6 ?6=3π+6 ?6．
故答案為：3π+6 ?6．
點評： 本題考查的是扇形的弧長的計算，掌握弧長的計算公式：l= 是解題的關鍵．
　
17．直角三角形的兩條邊長分別為6和8，那么這個三角形的外接圓半徑為　4或5　

考點： 三角形的外接圓與外心；勾股定理．
分析： 直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點，那么半徑為斜邊的一半，分兩種情況：①8為斜邊長；②6和8為兩條直角邊長，由勾股定理易求得此直角三角形的斜邊長，進而可求得外接圓的半徑．
解答： 解：由勾股定理可知：
①直角三角形的斜邊長為：8；
②直角三角形的斜邊長為： =10．
因此這個三角形的外接圓半徑為4或5．
點評： 本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓．
　
18．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，將矩形折疊，使B點落在AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC（含端點）交于F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點的△BEF，稱為矩形ABCD的“折痕三角形”．當折痕△BEF的面積最大時，AE的長為　6?3 　．
 

考點： 翻折變換（折疊問題）．
分析： 當點F與點C重合時，△BEF的面積有最大值，設AE=x，則DE=6?x，由折疊的性質可知：EC=BC=6，在Rt△EDC中，利用勾股定理可得到關于x的方程，然后解方程即可求得AE的長．
解答： 解：如圖所示：
 
設AE=x，則ED=6?x，由折疊的性質可知EC=CB=6．
在Rt△EDC中，由勾股定理得：ED2+DC2=EC2，即：（6?x）2+32=62，
解得：x1=6?3 ，x2=6+3 （舍去）．
∴AE=6?3 ．
故答案為：6?3 ．
點評： 本題主要考查的翻折的性質、勾股定理的應用，根據翻折的性質求得EC的長度，然后在Rt△EDC中，由勾股定理列出關于x的方程是解題的關鍵．
　
三、解答題（共9小題，滿分78分）
19．計算：（π?1）0+ + ?2 ．

考點： 實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；二次根式的性質與化簡．
專題： 計算題．
分析： 按照實數的運算法則依次計算；
考查知識點：負指數冪、零指數冪、絕對值、二次根式的化簡．
解答： 解：原式=1+2+（ ?5）?2
=3+3 ?5?2
= ?2．
點評： 傳統的小雜燴計算題．涉及知識：負指數為正指數的倒數；任何非0數的0次冪等于1；絕對值的化簡；二次根式的化簡．
　
20．解方程：
（1）x2?6x?2=0
（2）（x?3）2+（x?3）=0．

考點： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
專題： 計算題．
分析： （1）利用配方法得到（x?3）2=11，然后利用直接開平方法解方程；
（2）利用提公因式把方程左邊分解得到（x?3）（x?3+1）=0，則原方程可化為x?3=0或x?3+1=0，然后解兩個一次方程即可．
解答： 解：（1）x2?6x=2，
x2?6x+9=11，
（x?3）2=11，
x?3=± ，
所以x1=3+ ，x2=3? ；
（2）（x?3）（x?3+1）=0，
x?3=0或x?3+1=0，
所以x1=3，x2=2．
點評： 本題考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
　
21．已知一元二次方程x2?2x+m=0．
（1）若方程有兩個實數根，求m的范圍；
（2）為m選取一個非負整數，使方程有兩個不相等的實數根，并求這兩個根．

考點： 根的判別式．
分析： （1）若一元二次方程有兩實數根，則根的判別式△=b2?4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍，
（2）選取范圍中的非負整數解代入方程解方程即可．
解答： 解：（1）∵一元二次方程x2?2x+m=0有兩個實數根，
∴△=4?4m≥0，
解得m≤1；

（2）把m=0代入x2?2x+m=0得：x2?2x=0，
解得x1=0，x2=2．
點評： 此題考查了根的判別式，一元二次方程根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數根．
　
22．如圖，水平放置的一個油管的截面半徑為13cm，其中有油部分油面寬AB為24cm，求油的最大深度．
 

考點： 垂徑定理的應用；勾股定理．
分析： 根據垂徑定理，易知AC、BC的長；連接OA，根據勾股定理即可求出OC的長，進而可求出CD的值．
解答： 解：如圖；連接OA，作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
根據垂徑定理，得AC=BC=12cm；
Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm；
根據勾股定理，得：
OC= =5cm；
∴CD=OD?OC=8cm；
∴油的最大深度8cm．
 
點評： 此題主要考查的是垂徑定理及勾股定理的應用．解題的關鍵是正確的構造直角三角形．
　
23．一次期中考試中，A、B、C、D、E五位同學的數學、英語成績等有關信息如下表所示：（單位：分）
 A B C D E 平均分 標準差
數學 71 72 69 68 70 70 
英語 88 82 94 85 76  6
（1）求這五位同學在本次考試中英語成績的平均分和數學成績的標準差；
（2）為了比較不同學科考試成績的好與差，采用標準分是一個合理的選擇，標準分的計算公式是：標準分=（個人成績?平均成績）÷成績標準差．
從標準分看，標準分大的考試成績更好．請問A同學在本次考試中，數學與英語哪個學科考得更好？

考點： 標準差；算術平均數．
分析： （1）根據算術平均數的計算公式和標準差是方差的算術平方根求出平均數和標準差；
（2）根據標準分的計算公式計算比較得到答案．
解答： 解：（1）五位同學在本次考試中數學成績的方差為： [（71?70）2+（72?70）2+（69?70）2+（68?70）2+（70?70）2]=2，
則標準差為： ，
五位同學在本次考試中英語成績的平均分為： （88+82+94+85+76）=85；
（2）A同學數學標準分=（71?70）÷ =
A同學英語標準分（88?85）÷6=0.5，
 ＞0.5，
∴數學學科考得更好．
點評： 本題考查的是算術平均數和標準差的計算，掌握算術平均數的計算公式和標準差是方差的算術平方根是解題的關鍵．
　
24．如圖，在△ABC中，AB=AC，點E，F分別在AC，AB上，EF∥BC，將△AEF向上翻折，得到△A′EF，再展開．
（1）求證：四邊形AEA′F是菱形；
（2）直接寫出當等腰△ABC滿足什么條件時，四邊形AEA′F將變成正方形？
（3）當點A′恰好落在BC上時，直接寫出EF與BC的數量關系．
 

考點： 翻折變換（折疊問題）；菱形的判定；正方形的判定．
專題： 綜合題．
分析： （1）由題意易得△AEF為等腰三角形，AE=EA′，AF=FA′，所以四邊形AEA′F是菱形；
（2）因為有一角為直角的菱形是正方形，故當等腰△ABC的頂角為90°時，四邊形AEA′F是正方形；
（3）當點A′恰好落在BC上時，高為一半，則EF是中位線，所以EF= BC．
解答： 解：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C，∠B=∠AFE．
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∵AE=EA′，AF=FA′，（3分）
∴A′E=AE=AF=A′F，
∴四邊形AEA′F是菱形．（5分）

（2）當等腰△ABC的頂角為90°時，四邊形AEA′F是正方形．（7分）

（3）EF= BC．（9分）
點評： 本題考查圖形的折疊與拼接，同時考查了三角形、四邊形等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析．
　
25．某批發商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發商為增加銷售量，決定降價銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格；第二個月結束后，批發商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元，設第二個月單價降低x元．
（1）填表：（不需化簡）
時間   第一個月 第二個月  清倉時
 單價（元）  80   40
 銷售量（件）  200  
（2）如果批發商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？

考點： 一元二次方程的應用．
專題： 銷售問題；壓軸題．
分析： （1）根據題意直接用含x的代數式表示即可；
（2）利用“獲利9000元”，即銷售額?進價=利潤，作為相等關系列方程，解方程求解后要代入實際問題中檢驗是否符合題意，進行值的取舍．
解答： 解：（1）80?x，200+10x，800?200?（200+10x）
時間   第一個月 第二個月  清倉時
 單價（元）  80  80?x  40
 銷售量（件）  200  200+10x  800?200?（200+10x）
（2）根據題意，得
80×200+（80?x）（200+10x）+40[800?200?（200+10x）]?50×800=9000
整理得10x2?200x+1000=0，
即x2?20x+100=0，
解得x1=x2=10
當x=10時，80?x=70＞50
答：第二個月的單價應是70元．
點評： 解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．有關銷售問題中的等量關系一般為：利潤=售價?進價．
　
26．如圖，已知：矩形ABCD中，AD=12，DC=10，矩形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，點G以2cm/s的速度從D點向C點運動．
 
（1）若點H是AD上一定點，且AH=2，當運動時間t=1時，四邊形EFGH的形狀是　正方形　．
（2）若點H是AD上一定點，且AH=2，點G點運動多長時間后，AE的長度為8？
（3）如圖2，若點H同時也在從A向D以1cm/s的速度運動，連接BF，假設運動的時間為t，求出t為何值時△BEF的面積為25．

考點： 四邊形綜合題．
分析： （1）當t=1時，DG=2，從而得到DG=AH，然后可證明△HDG∽△EAH，由相似三角形的性質可知： ，從而得到GH=HE，又因為四邊形EFGH是矩形，故此四邊形EFGH是正方形；
（2）由（1）可知：△HDG∽△EAH，由相似三角形的性質可知： ，即： ，從而可求得t= ；
（3）如圖3所示：過點F作FM⊥AB．首先證明△HDG≌△FME，從而得到DH=FM=12?t，然后根據△DHG∽△AEH，可知 ，可求得AE=6 ，所以BE=4+ ，接下來利用三角形的面積公式得出三角形BEF的面積與t的函數關系式，利用配方法可求得當t=2時，△BEF的面積有最大值，最大值為25．
解答： 解：（1）∵t=1，
∴DG=2．
∴DG=AH．
∵四邊形EFGH為矩形，
∴∠GHE=90°．
∴∠DHG+∠AHE=90°．
∵∠AHE+∠AEH=90°，
∴∠DHG=∠AEH．
又∵∠D=∠A=90°，
∴△HDG∽△EAH．
∴ ．
∴GH=HE．
又∵四邊形EFGH是矩形，
∴四邊形EFGH是正方形．
（2）由（1）可知：△HDG∽△EAH．
∴ ，即： ．
解得t= ．
（3）如圖3所示：過點F作FM⊥AB．
 
由（1）可知：∠DHG=∠AEH．
∵∠AEH+∠FEM=90°，∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠HEA=∠EFM．
∴∠DHG=∠EFM．
在△HDG和△FME中，
 ，
∴△HDG≌△FME．
∴DH=FM．
∵AH=t，DG=2t，
∴DH=12?t．
由（1）可知△DHG∽△AEH．
∴ 即： ．
∴AE=6 ．
∴BE=4+
∴ = = = ．
∴當t=2時，△BEF的面積為25．
點評： 本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、矩形的性質、全等三角形的性質和判定、配方法求二次函數的最值的綜合應用，證得△HDG≌△FME、△DHG∽△AEH是解題的關鍵．
　
27．等腰直角△ABC和⊙O如圖①放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現△ABC以每秒2個單位的速度向右移動．
 
（1）①　2.5秒或3.5　秒后邊AB所在的直線與⊙O相切．
②當△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時，如圖②，切點為E，連接OE并延長OE交直線BC于點F，設C′D=x，則FC′=　 x　（用含x的代數式表示），求點B移動的距離．
（2）現△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位的速度沿BA、BC方向增大．
①若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經過了多少時間？
②是否存在某一時刻，△ABC各邊剛好與⊙O都相切？若存在，求出剛好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由．

考點： 圓的綜合題．
分析： （1）①直接利用圓心O與直線AB的距離為5，以及⊙O的半徑為1和△ABC移動的速度求出答案；
②第一次相切時，與斜邊相切，假設此時，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點D，連OD并延長，交B′C′于F．由切線長定理易得CC′的長，進而由三角形運動的速度可得答案；
（2）①△ABC與⊙O從開始運動到最后一次相切時，應為AB與圓相切，路程差為6，速度差為1，故從開始運動到最后一次相切的時間為6秒；
②求出⊙O與△A′B′C′第二次相切時運動的時間，連接B′′O并延長交A′′C′′于點P，則B′′P⊥A′′C′′，求出OP的長即可得出結論．
解答： 解：（1）①∵⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5，現△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，
∴當移動 =2.5（秒），或 =3.5（秒）時，邊AB所在的直線與⊙O相切．
故答案為：2.5秒或3.5；

②如圖2，由題意可得：C′D=C′E=x，∠A′C′B′=45°，∠OEC′=90°，
則∠OFD=45°，故EF=EC′=x，
則FC′= x，
∵DO=DF=1，
∴x+ x=1，
解得：x= ?1，
則點B移動的距離為：BB′=CC′=BD?BC?DC′=5?1?（ ?1）=5? ．
故答案為： x；

（2）①設一共經過了t秒，根據題意得：2t?5=t+1，
解得：t=6．
則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經過6秒；

②∵△ABC與⊙O從開始運動到第二次相切時，2t+1=t+5，
解得t=4，
∴從開始運動到第二次相切的時間為4秒，此時△ABC移至△A′′B′′C′′處，A′′B′′=1+4× =3
如圖3，連接B′′O并延長交A′′C′′于點P，則B′′P⊥A′′C′′，且OP= ? = ＜1，
∴此時⊙O與A′′C′′相交，
∴不存在△ABC各邊與⊙O都相切．
 
 
點評： 本題考查的是圓的綜合題，涉及的知識有：圓與直線的位置關系、切線長定理、切線的性質、平移的性質以及等腰直角三角形的性質，利用了數形結合的思想，利用數形結合再利用方程求出是解題關鍵．