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一、唯一解法

前言　直觀法的根本是基礎(chǔ)摒除法，唯一解法其實(shí)只可算是基礎(chǔ)摒除法的特例，只因其成立條件十分特殊明確， 可以幾乎不花腦筋就填出解來，所以特別獨(dú)立為一法，但有些人是完全不加理會的。

唯一解詳說　當(dāng)數(shù)獨(dú)謎題中的某一個(gè)宮格因?yàn)樗�處的列、行或九宮格已填入數(shù)字的宮格達(dá)到8個(gè)時(shí)，那么這個(gè)宮格所能填入的數(shù)字，就只剩下那個(gè)還沒出現(xiàn)過的數(shù)字了。

當(dāng)某列已填入數(shù)字的宮格達(dá)到8個(gè)時(shí)，所剩宮格唯一能填入的數(shù)字就叫做列唯一解；當(dāng)某行已填入數(shù)字的宮格達(dá)到 8 個(gè)時(shí)，所剩宮格唯一能填入的數(shù)字就叫做行唯一解； 當(dāng)某個(gè)九宮格已填入數(shù)字的宮格達(dá)到 8 個(gè)時(shí)，所剩宮格唯一能填入的數(shù)字就叫做九宮格唯一解。

<圖 1> (5, 9)出現(xiàn)列唯一解 6 了

<圖 1>是出現(xiàn)列唯一解的例子，請看第 5 列，由 (5,1) ～(5,8) 都已填入數(shù)字了，只剩(5,9)還是 空白，此時(shí)(5,9)中應(yīng)填入的數(shù)字，當(dāng)然就是第 5 列中還沒出現(xiàn)過的數(shù)字了！請一個(gè)個(gè)數(shù)字核對一下， 哦！是數(shù)字 6 還沒出現(xiàn)過，所以(5,9) 中該填入的數(shù)字就是數(shù)字 6 了，這時(shí)我們說：(5, 9)有列唯一解 6 。

<圖 2> (7, 1)出現(xiàn)行唯一解 9 了

<圖 2>是出現(xiàn)行唯一解的例子，請看第 1 行，除了宮格 (7,1) 外都已填入數(shù)字了，此時(shí)(7,1)中應(yīng)填入的數(shù)字， 當(dāng)然就是第 1 行中還沒出現(xiàn)過的數(shù)字 9 了！這時(shí)我們說：(7, 1)有行唯一解 9 。

<圖 3> (7, 2)出現(xiàn)九宮格唯一解 3 了

<圖 3>是出現(xiàn)九宮格唯一解的例子，請看下左九宮格，除了宮格 (7,2) 外都已填入數(shù)字了，此時(shí)(7,2) 中應(yīng)填入的數(shù)字，當(dāng)然就是下左九宮格中還沒出現(xiàn)過的數(shù)字 3 了！這時(shí)我們說：(7, 2)有九宮格唯一解3。

仔細(xì)想想：以上的列唯一解其實(shí)也可看成是列摒除解、行唯一解也可看成是行摒除解、 九宮格唯一解也可看成是九宮格摒除解，不是嗎？不過 9 個(gè)宮格已填了 8 個(gè)，這樣的情況太特殊、太容易辨認(rèn)了， 所以獨(dú)立出來也無可厚非啦！

結(jié)語　使用直觀法時(shí)，大部分的時(shí)間應(yīng)該都在使用基礎(chǔ)摒除法，尤其是剛開始解題時(shí)，唯一解法應(yīng)該不太會有應(yīng)用的機(jī)會， 但隨著填入的數(shù)字越來越多，唯一解法上場的機(jī)會就越來越高了。雖然玩家也可以完全以摒除法系統(tǒng)性的尋找題解， 不過這么特殊、容易辨認(rèn)的情況出現(xiàn)了，而不去理會，也未免太可惜啦！

二、唯余解法

前言　唯余解法的原理十分簡單，但是在實(shí)際的解題中，非常不容易辨認(rèn)。

由于唯余解非常不容易辨認(rèn)，所以一般的報(bào)章雜志及較大眾化的數(shù)獨(dú)網(wǎng)站，通常會將需要用到唯余解法的數(shù)獨(dú)謎題 歸入較高的級別。但另一種以候選數(shù)法為分級根據(jù)的網(wǎng)站，則會把這類的謎題放到較低的級別中。

唯余解詳說　當(dāng)數(shù)獨(dú)謎題中的某一個(gè)宮格，因?yàn)樗�處的列、行及九宮格中，合計(jì)已出現(xiàn)過不同的 8 個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)宮格所能填入 的數(shù)字，就只剩下那個(gè)還沒出現(xiàn)過的數(shù)字時(shí)，我們稱這個(gè)宮格有唯余解。

<圖 1> (8, 6)出現(xiàn)唯余解了

<圖 1>是出現(xiàn)唯余解的例子，請看 (8, 6)在的第 8 列，共出現(xiàn)了 2、8、1、6、5、3 六個(gè)數(shù)字； 接下來再看 (8, 6) 所在的第 6 行，共有 2、4、9 三個(gè)數(shù)字； 而 (8, 6) 所在的下中九宮格， 還包含了1、6、2 三個(gè)數(shù)字；所以 (8, 6) 所處的列、行及九宮格中，合計(jì)已出現(xiàn)過 1、2、3、4、5、6、8、9 共 8 個(gè)不同的數(shù)字；依照數(shù)獨(dú)的填制規(guī)則，同一列、同一行及同一個(gè)九宮格中， 每一個(gè)數(shù)字都只能出現(xiàn)一次，所以 (8, 6) 就只能填入尚未出現(xiàn)過的數(shù)字 7 了；這時(shí)我們說： (8, 6) 有唯余解 7 。

<圖 2>

如果你學(xué)過候選數(shù)法，應(yīng)該可以看出來：直觀法中的唯一解法及唯余解法，在候選數(shù)法中就是最簡易的唯一候選數(shù)法， 但在直觀法中，這兩種方法是有著很大不同的。唯一解法的判定一樣十分簡單，某行、某列或某個(gè)九宮格已被填了 8 格時(shí)，就是唯一解法；但唯余解法卻十分難以辨認(rèn)，<圖 2>中，使用基礎(chǔ)摒除法已找不到解了，只好找尋唯余解， 而謎題中共有兩個(gè)唯余解，請你找找看，看是否可以找到！

當(dāng)你把鼠標(biāo)移到圖塊上時(shí)，會顯示出其中的一個(gè)：在 (1, 6) 有唯余解 3，另一個(gè)唯余解 5 則出現(xiàn)在在 (3, 1)。 不容易找到吧！所以一般的報(bào)章雜志及較大眾化的數(shù)獨(dú)網(wǎng)站，通常會將需要用到唯余解法的數(shù)獨(dú)謎題歸入較高的級別。

結(jié)語　使用直觀法時(shí)，大部分的時(shí)間應(yīng)該都在使用基礎(chǔ)摒除法，但有些較困難的數(shù)獨(dú)題目，不時(shí)會出現(xiàn)以基礎(chǔ)摒除法 將找不到解的情況，這時(shí)就是唯余解法上場應(yīng)用的機(jī)會了，不過隨著填入的數(shù)字越來越多，需要唯余解法上場的 機(jī)會就越來越低了。

雖然在候選數(shù)法玩家的眼中，需要應(yīng)用越多次唯余解法的數(shù)獨(dú)題目，就和拿著大關(guān)刀切菜一般簡單。 但需要應(yīng)用越多次唯余解法的數(shù)獨(dú)題目，在直觀法玩家的眼中真是惡魔啊！

三、直觀式解題法解簡易級范例

概說　對大部分的數(shù)獨(dú)初學(xué)者來說，什么叫做不用猜測，完全以邏輯方法得出解答，是最不容易理解且做到的事。 雖然我們已說明了直觀式解題所常用的技巧，但要如何應(yīng)用，可能仍有人不太明了！

運(yùn)用網(wǎng)頁為媒介的最大優(yōu)勢就是不受篇幅的限制，真的是想要怎么表達(dá)，就可以這么表達(dá)！既然有全題 解題示范的需求，尤怪就示范給大家看吧，不過，這只是示范哦，玩家的解題程序若和尤怪不同，并不表示 任何意義！只要能解題，采用何種方法其實(shí)并不是重點(diǎn)，只要求不可猜測就好！

解題實(shí)例

<圖 1>原始謎題

尤怪拿到數(shù)獨(dú)謎題后，比較一絲不茍，均循序一一檢視，以免產(chǎn)生遺漏，本題亦同。先由 1 開始檢查， 發(fā)現(xiàn)沒有可確認(rèn)的填入點(diǎn)之后，開始檢視數(shù)字 2，因?yàn)榈?3 列及第 7、8 行都已有了數(shù)字 2，所以上右 九宮格的數(shù)字 2 只能填入(1, 9)：

發(fā)現(xiàn)(1, 9)可填入 2

接著再檢視數(shù)字 2、3 都沒發(fā)現(xiàn)填入點(diǎn)，檢查數(shù)字 4 時(shí)，因?yàn)榈?4、5 列及第 2 行都已有了數(shù)字 4，所以中左 九宮格的數(shù)字 4 只能填入(4, 1)：

發(fā)現(xiàn)(4, 1)可填入 4

檢查數(shù)字 4 沒發(fā)現(xiàn)填入點(diǎn)后，檢查數(shù)字 5 時(shí)，因?yàn)榈?1、7 行都已有了數(shù)字 5，以及上中九宮格的數(shù)字 5 使得(2, 4)及 (2, 6)宮格不得再填入 5，所以第 2 列的數(shù)字 5 只能填入(2, 2)；同時(shí)因(1, 6)及(8, 7) 這兩個(gè)宮格的摒除作用，使得上右九宮格的數(shù)字 5 只能填入(3, 9)：

發(fā)現(xiàn)(2, 2)、(3, 9)可填入 5

發(fā)現(xiàn)(4, 8)、(5, 4)可填入 5

開始檢查數(shù)字 6 ：

發(fā)現(xiàn)(4, 7)、(9, 9)可填入 6

接下來可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 6 應(yīng)填在 (6, 3)、(1, 1)、(3, 6)、(7, 4)

開始檢查數(shù)字 7 ：

發(fā)現(xiàn)(5, 7)、(6, 5)可填入 7

接下來可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 7 應(yīng)填在 (1, 4)、(3, 2)、(9, 1)、(8, 8)

開始檢查數(shù)字 8，雖然只出現(xiàn) 3 個(gè) 8，但因空白宮格的減少，一下子就可發(fā)現(xiàn)好多處解：在第 5 列只能填在 (5, 1)、在第 8 列只能填在(8, 4)、在中右九宮格只能填在(6, 8)、在下左九宮格只能填在(9, 2)：

發(fā)現(xiàn)(5, 1)、(8, 4)、(6, 8)、(9, 2)可填入 8

檢查數(shù)字 9 時(shí)，使用摒除法并無法找到填入點(diǎn)。(因?yàn)槲ㄒ唤夥ㄒ�由�?shù)字 1 到 9 逐一檢視是否出現(xiàn)， 使用上不像摒除法那么直觀而簡易，所以本例中雖然使用唯一解法可找到(2, 1)、(4, 2)有唯一解 9， 但因尤怪只在摒除法找不到解時(shí)才使用唯一解法，所以找不到填入點(diǎn))所以又重由數(shù)字 1開始檢視， 或許有人會問：「剛才不是已檢查過了嗎？」沒錯(cuò)！但在那之后已填入了好多數(shù)字，所以盤面狀況已 大不相同，檢查結(jié)果也將不同了。果然，我們可發(fā)現(xiàn)數(shù)字 1 在第 1 行只能填在(7, 1)、在第 4 列只能填在(4, 4)：

 發(fā)現(xiàn)(7, 1)、(4, 4)可填入 1

接下來可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 1 應(yīng)填在 (2, 6)、(5, 3)、(9, 7)、(6, 9)

檢查數(shù)字 2 ：

可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 2 應(yīng)填在 (4, 5)、(2, 4)、(8, 6)、(7, 3)

檢查數(shù)字 3 ：

 可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 3 應(yīng)填在 (1, 3)、(2, 7)、(7, 8)、(6, 2)、(5, 6)、(9, 5)

檢查數(shù)字 4 ：

 可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 4 應(yīng)填在 (3, 3)、(1, 7)、(8, 9)、(9, 6)

......。

剩下的部份應(yīng)不必再示范了吧！就留作練習(xí)了。

四、直觀式解題法解中級題范例

概說　對大部分的數(shù)獨(dú)初學(xué)者來說，什么叫做不用猜測，完全以邏輯方法得出解答，是最不容易理解且做到的事。 雖然我們已說明了直觀式解題所常用的技巧，但要如何應(yīng)用，可能仍有人不太明了！

運(yùn)用網(wǎng)頁為媒介的最大優(yōu)勢就是不受篇幅的限制，真的是想要怎么表達(dá)，就可以這么表達(dá)！既然有全題 解題示范的需求，尤怪就示范給大家看吧，不過，這只是示范哦，玩家的解題程序若和尤怪不同，并不表示 任何意義！只要能解題，采用何種方法其實(shí)并不是重點(diǎn)，只要求不可猜測就好！

解題實(shí)例

<圖 1>原始謎題

尤怪拿到數(shù)獨(dú)謎題后，比較一絲不茍，均由數(shù)字 1 起循序一一檢視，以免產(chǎn)生遺漏，本題亦同。先由 1 開始檢查，發(fā)現(xiàn)上中九宮格的數(shù)字 1 只能填入(3, 6)：

 發(fā)現(xiàn)(3, 6)可填入 1

接著檢視數(shù)字 2 ：

 發(fā)現(xiàn)(3, 8)、(4, 6)可填入 2

檢視數(shù)字 3 時(shí)沒發(fā)現(xiàn)填入點(diǎn)，檢視數(shù)字 4 時(shí)，發(fā)現(xiàn)需用到高級摒除法：因?yàn)榈?2 行及第 9 列的數(shù)字 4 ， 使得下左九宮格的數(shù)字 4 只能填在第 8 列，再加上第 6 行及第 9 列的數(shù)字 4 ，使得下中九宮格的數(shù)字 4 只能填到(7, 4) 了：

發(fā)現(xiàn)(7, 4)可填入 4

接著的下一個(gè)解還是要使用高級摒除法：因?yàn)榈?9 行的數(shù)字 4 使得中右九宮格的數(shù)字 4 只能填在第 5 列， 再加上第 4 列、第 4 及第 6 行的也已有 4 了，所以中央九宮格的數(shù)字 4 就只能填到(6, 5) 了：

 發(fā)現(xiàn)(6, 5)可填入 4

接著再檢視數(shù)字 4、5 時(shí)都沒發(fā)現(xiàn)填入點(diǎn)了，開始檢查數(shù)字 6 ：

發(fā)現(xiàn)(9, 4)、(4, 1)可填入 6

發(fā)現(xiàn)(2, 2)可填入 6

開始檢查數(shù)字 7 ：

 發(fā)現(xiàn)(5, 5)可填入 7

開始檢查數(shù)字 8：

發(fā)現(xiàn)(7, 9)、(6, 1)可填入 8

發(fā)現(xiàn)(9, 2)可填入 8

開始檢查數(shù)字 9：

 發(fā)現(xiàn)(6, 4)可填入 9

回頭檢查數(shù)字 1，因?yàn)樗�用技巧只是一般的摒除，就不一一顯示摒除情形了：

 可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 1 應(yīng)填在 (4, 5)、(6, 9)、(7, 7)

檢視數(shù)字 2 時(shí)沒發(fā)現(xiàn)填入點(diǎn)，檢查數(shù)字 3 ：

可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 3 應(yīng)填在 (4, 4)、(2, 1)、(7, 2)

檢查數(shù)字 4 時(shí)沒發(fā)現(xiàn)填入點(diǎn)，檢查數(shù)字 5，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)好有趣的摒除，居然不靠任何的數(shù)字 5 也能使用 摒除法，且找到下一個(gè)解；因?yàn)橹凶缶艑m格的數(shù)字 5 只能填在第 5 列，所以中右九宮格的數(shù)字 5 就只能填在(4, 9)了：

發(fā)現(xiàn)(4, 9)、(6, 6)可填入 5

檢查數(shù)字 6 時(shí)沒發(fā)現(xiàn)填入點(diǎn)，檢查數(shù)字 7：

可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 7 應(yīng)填在 (7, 8)、(9, 6)、(8, 1)、(3, 2)、(1, 4)、(2, 9)

可相繼發(fā)現(xiàn)數(shù)字 9 應(yīng)填在 (1, 9)、(2, 5)

回頭檢查到數(shù)字 3 時(shí)也很有意思，因?yàn)橄轮芯艑m格的數(shù)字 3 一定要填在第 5 行，再加上第 4 行已有 3 了， 所以上中九宮格的數(shù)字 3 只能填在(1, 6)：

發(fā)現(xiàn)(1, 6)可填入 3

......。

剩下的部份應(yīng)不必再示范了吧！就留作練習(xí)了。

五、直觀式解題法解高級題范例

概說　對大部分的數(shù)獨(dú)初學(xué)者來說，什么叫做不用猜測，完全以邏輯方法得出解答，是最不容易理解且做到的事。 雖然我們已說明了直觀式解題所常用的技巧，但要如何應(yīng)用，可能仍有人不太明了！

運(yùn)用網(wǎng)頁為媒介的最大優(yōu)勢就是不受篇幅的限制，真的是想要怎么表達(dá)，就可以這么表達(dá)！既然有全題 解題示范的需求，尤怪就示范給大家看吧，不過，這只是示范哦，玩家的解題程序若和尤怪不同，并不表示 任何意義！只要能解題，采用何種方法其實(shí)并不是重點(diǎn)，只要求不可猜測就好！

解題實(shí)例

<圖 1>原始謎題

基本上，不同的單位對數(shù)獨(dú)難度的判定有不同的標(biāo)準(zhǔn)，某處列為簡易題的，在另一處可能被列為中級題， 甚至高級題；所以大家對難度的標(biāo)示其實(shí)不必太執(zhí)著。為了讓大家比較一下，這個(gè)范例的高級題來自 「Puzzle Japan 」Let's Play Sudoku 的 Sample problem 第 9 題，作者為 KANEOKA Ryo，等級為 Hard。

沿續(xù)以往的風(fēng)格，拿到數(shù)獨(dú)謎題后，均由數(shù)字 1 起循序一一檢視，以免產(chǎn)生遺漏，另外，既然是高級題的示范， 且已做了兩個(gè)數(shù)獨(dú)題的范例了，太多的圖文其實(shí)是不必要而無幫助的，所以本例中以一般摒除法求得的解就 不再以圖示展示，僅直接列出解題的順序；為了加快解題的速度，也不再只用摒除法， 只要某一行、列或九宮格只剩下兩個(gè)空白宮格時(shí)，就先用唯一解法找找看，看看是否找得到唯一解。

 發(fā)現(xiàn)(9, 1)有摒除解 3、(9, 9)有摒除解 5

檢視到數(shù)字 6 時(shí)，因?yàn)榈?1 行及第 6 列已有 6 了，中左九宮格的數(shù)字 6 就只能填在第 3 行， 然后再加上第 3 列的數(shù)字 6，上左九宮格中的數(shù)字 6 就只能填在(2, 2)了：

發(fā)現(xiàn)(2, 2)有摒除解 6、(5, 7)有摒除解 7

檢視到數(shù)字 7 時(shí)，因?yàn)榈?2 行及第 9 列已有 7 了，下左九宮格的數(shù)字 7 就只能填在第 3 行， 然后再加上第 5、6 列的數(shù)字 7，中左九宮格中的數(shù)字 7 就只能填在(4, 1)了：

發(fā)現(xiàn)(4, 1)有摒除解 7

檢視到數(shù)字 1 時(shí)，使用類似的技巧可發(fā)現(xiàn)下右九宮格中的數(shù)字 1 就只能填在(7, 9)了：

 發(fā)現(xiàn)(7, 9)有摒除解 1

發(fā)現(xiàn)(7, 2)、(4, 8)有摒除解 2

在這里?到了一次瓶頸，使用摒除法找不到下一個(gè)解了；只好在已填數(shù)字較多處找唯一解：

 發(fā)現(xiàn)(5, 1)有唯一解 8、(1, 3)有摒除解 8

在這里又?到了一次瓶頸，使用摒除法又找不到下一個(gè)解了；一樣只好在已填數(shù)字較多處找唯一解， 找到一解之后，利用摒除法又可繼續(xù)找到下一個(gè)解：

發(fā)現(xiàn)(6, 1)有唯一解 1、(1, 4)有摒除解 5、發(fā)現(xiàn)(1, 6)、(9, 4)有摒除解 6、(8, 4)、(9, 3)、(3, 2)、(2, 7)有摒除解 1

檢視到數(shù)字 2 時(shí)，恰巧出現(xiàn)一個(gè)高級摒除法的技巧，雖然在本題即使不用也一樣可以得到下一個(gè)解， 但既然?到了，機(jī)會難得，就介紹一下吧：由于第 2、3 行的數(shù)字 2 ，使得上左九宮格的數(shù)字 2 只能填在 (1, 1)及(3, 1)；由于第 8、9 行的數(shù)字 2 ，使得上右九宮格的數(shù)字 2 只能填在 (1, 7)及(3, 7)；在這樣的狀況下，如果上左九宮格的數(shù)字 2 填在(1, 1)，則上右九宮格 的數(shù)字 2 就一定要填在(3, 7)；如果上左九宮格的數(shù)字 2 填在(3, 1)，則上右九宮格 的數(shù)字 2 就一定要填在(1, 7)；不論是哪一種狀況發(fā)生，第 1、3 列的數(shù)字 2 都會被填入，所以 其它宮格不能再填入數(shù)字 2，再加上第 5 行的 2 ，使得上中九宮格的數(shù)字 2 只能填在(2, 6)：

注：這其實(shí)就是候選數(shù)法中的矩形頂點(diǎn)刪減法。

 發(fā)現(xiàn)(2, 6)有摒除解 2

發(fā)現(xiàn)(5, 4)有摒除解 2、(2, 5)有摒除解 3、

(2, 3)、(6, 2)、(3, 8)、(5, 5)有摒除解 5、

(4, 5)、(5, 3)有摒除解 2、(4, 3)有摒除解 9、(3, 7)有摒除解 8

在檢視數(shù)字 8 時(shí)，又要使用較曲折的摒除技巧才能找到下一個(gè)解：

發(fā)現(xiàn)(4, 9)有摒除解 8

......。

剩下的部份應(yīng)不必再示范了！就留作練習(xí)了。