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第七章 三角形
本章小結
小結1 本章概述
三角形是幾何知識中的重要內容，也是幾何學的基礎．本章從三角形出發，先學習與三角形有關的線段和角再到多邊形，其中包括三角形的內角和、外角和及多邊形的內角和等知識，最后到多邊形的實際應用．
小結2 本章學習重難點
【本章重點】了解三角形的有關概念(內角、外角、中線、高、角平分線)；會畫出任意三角形的角平分線、中線和高．
【本章難點】通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計．
【學習本章應注意的問題】
正確理解三角形的有關概念，掌握有關性質．在學習中，要注意觀察，搜集資料，多交流，注重新舊知識的聯系，學會將新知識轉化到已學的知識上去，再進行歸納、整理、分析，要深刻理解并掌握歸納、類比的方法．學習中，還要多注意結合圖形，理解用多邊形鑲嵌圖案的道理，欣賞豐富多彩的圖案，體驗數學美，提高審美情趣．

小結3 中考透視
本章知識在中考中所占比重較大，一方面以填空題、選擇題形式出現，以考查對基本概念、基本定理的理解為主；另一方面以綜合題形式出現，主要考查對知識的靈活運用及綜合運用的能力，利用本章知識解決實際問題的題目也越來越多地出現在中考試題中，還有平面圖形的鑲嵌內容也是近年來的熱點考題，備受關注．由于鑲嵌問題具有較強的實用性，對知識的運用要求靈活性較高，所以要得到這類問題的分數也不是太容易的，分值占3～4分．

知識網絡結構圖



專題總結及應用
一、知識性專題
專題1 三角形的三條重要線段
【專題解讀】三角形的中線、角平分線和高是三角形的三條重要線段，它們具有十分重要的性質，三角形的高構造了垂直的條件，三角形的中線隱含線段相等，通過三角形的中線可以把三角形的面積分成相等的兩部分，三角形的角平分線提供了角相等的條件.掌握這些概念,對解與三角形有關的問題十分重要.
例1 如圖7-64所示,D為△ABC中AC邊上一點,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一點,且△DEC的面積等于△ABC的面積的一半,求EB.
分析 已知△DEC的面積等于△ABC的面積的一半,在圖形中, △DEC與△ABC既不同底也不等高,因此需尋找橋梁△AEC來建立二者之間的關系,因為△AEC既與△DEC等高也與△ABC等高.
解:作EF⊥AC于F,則 ,
作CG⊥AB于點G,則 ,
∴ ,即 .
又∵ ,∴ ,∴AE=3,
∴BE=AB-AE=1,即BE的長為1.
【解題策略】等高的兩個三角形的面積比等于底邊長的比,它是面積問題中常用的解題策略.
專題2 多邊形的內角和及外角和
【專題解讀】用三角形的內角和定理可以推出多邊形的內角和定理及外角和定理,在推導的過程中體現了轉化思想,在解有關多邊形的問題時,如求多邊形的內角、外角、邊數及對角線等問題，這兩個定理都很重要.
例2 已知一個多邊形的內角和與某個外角的度數的總和為1350°,求這個多邊形的邊數.
分析 應充分利用多邊形每個外角在0°～180°間和等式的性質巧解此題.
解:設這個多邊形的這個外角為x,它的邊數為n,
則(n-2)?180°+x=1350°, ∴(n-2) ?180°=8×180°-(90°+x),
由此可得90°+x是180°的倍數. ∵0°＜x＜180°,
∴x=180°-90°=90°,
∴(n-2) ?180°=7×180°,
∴n=9.
【解題策略】靈活運用多邊形的內角和定理及外角和定理是解決此類問題的關鍵.
二、規律方法專題
專題3 用公式法解有關對角線的條數問題
【專題解讀】用n邊形的對角線有 條來解決相關問題.
例3 若一個多邊形有77條對角線,求它的內角和.
分析 由 =77,求n.
解:設這個多邊形的邊數為n,由題意,得 =77.
解得n=14,即這個多邊形是十四邊形,
十四邊形的內角和為(14-2) ×180°=2160°,即內角和為2160°.
【解題策略】根據對角線條數的公式 ,即已知邊數可求對角線的條數,反之已知對角線的條數,可求出邊數.
三、思想方法專題
專題4 轉化思想
【專題解讀】轉化思想在本章中有很多的應用,主要體現在探索有關多邊形的問題時經常轉化為三角形的問題進行解決.
例4 填表.
多邊形的邊數3456…n
內角和
外角和
分析 先由三角形的內角和為180°及外角和為360°逐一推廣,將4,5,…,n邊形分割成若干個三角形,易得答案.
解:填表如下.
多邊形的邊數3456…n
內角和180°360°540°720°…(n-2) ?180°
外角和360°360°360°360°…360°
【解題策略】解決有關多邊形問題時,經常轉化為三角形問題來解決.
2011中考真題精選
（2011陜西，12，3分）如圖，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于點E ，若 ， 則 ．

考點：平行線的性質。
分析：由AC∥BD，根據兩直線平行，同位角相等，即可求得∠B的度數；由鄰補角的定義，求得∠BAC的度數；又由AE平分∠BAC交BD于點E，即可求得∠BAE的度數，根據三角形外角的性質即可求得∠2的度數．
解答：解：∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°?∠1=180°?64°=116°，
∵AE平分∠BAC交BD于點E，
∴∠BAE= ∠BAC=58°，
∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°．
故答案為：122°．
點評：此題考查了平行線的性質，角平分線的定義，鄰補角的定義以及三角形外角的性質．題目難度不大，注意數形結合思想的應用．
如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP= 50°．

考點：角平分線的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質．
分析：根據外角與內角性質得出∠BAC的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
解答： 解：延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案為：50°．
點評：此題主要考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據角平分線的性質得出PM=PN=PF是解決問題的關鍵．
（2011?貴港）在△ABC中，∠A=30°，∠B=55°，延長AC到D，則∠BCD=　85　度．
考點：三角形的外角性質。
分析：根據三角形外角的性質，即可推出∠BCD=∠A+∠B，即可推出結論．
解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=55°，
∴∠BCD=∠A+∠B=85°．
故答案為85°．
點評：本題主要考查三角形外角的性質，關鍵在于推出∠BCD=∠A+∠B，認真的計算．
（2011?西寧）如圖，將三角形的直角頂點放在直尺的一邊上，∠1=30°，∠3=20°，則∠2=　50°　．

考點：平行線的性質；三角形的外角性質。
專題：綜合題。
分析：先根據三角形的外角性質求得∠4的度數，再根據平行線的性質即可求解．
解答：解：由三角形的外角性質可得∠4=∠1+∠3=50°，
∵∠2和∠4是兩平行線間的內錯角，
∴∠2=∠4=50°．
故答案為：50°．

點評：本題綜合考查了三角形的外角性質和平行線的性質，得到∠4的度數是解題的關鍵
（2011湖州，12，4分）如圖：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，則∠2=　60　度．

考點：平行線的性質；角平分線的定義.
專題：計算題.
分析：已知CD平分∠ACB，DE∥AC，可推出∠ACB=∠2，易求解．
解答：解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠1；∵DE∥AC，∴∠ACB=∠2；
又∵∠1=30°，∴∠2=60°．
點評：本題應用的知識點為兩直線平行，同位角相等；角平分線的定義．
（2011湖北隨州，8，3）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝　50°　．

考點：角平分線的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質。
分析：根據外角與內角性質得出∠BAC的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．
解答：解：延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x－40）°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－40°）－（x°－40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA＝PA，PM＝PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故答案為：50°．

點評：此題主要考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據角平分線的性質得出PM＝PN＝PF是解決問題的關鍵
如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E．若PE=2，則兩平行線AD與BC間的距離為 4．

【考點】角平分線的性質；平行線的性質．
【專題】幾何計算題．
【分析】根據角平分線的性質以及平行線的性質即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【解答】 解：過點P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，PE⊥AB于點E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案為：4．
【點評】此題主要考查了角平分線的性質以及平行線的性質，根據題意作出輔助線是解決問題的關鍵．
（2011湖南長沙，13，3分）如圖，CD是△ABC的外角∠ACE的平分線，AB∥CD，∠ACE＝100°，則∠A＝____________．

考點：角平分線 平行線
專題：相交線與平行線
分析：因為CD是∠ACE的平分線，∠ACE＝100°，所以∠ACD＝ ∠ACE＝50°；因為AB∥CD，所以∠A＝∠ACD＝50°．
解答：50°
點評：本題解法不唯一，如可以先由平角定義求得∠ACB的度數，再由平角分線定義與平行線性質求得∠B的度數，最后由三角形的內角和定理，求得∠A的度數．
（2011?青海）認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題．
探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發現∠BOC=90°+ ，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A
∴
∴∠BOC=180°?（∠1+∠2）=180°?（90°? ∠A）
=
探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．
探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明）
結論：　∠BOC=90°? ∠A　．

考點：三角形的外角性質；三角形內角和定理。
專題：常規題型。
分析：（1）根據提供的信息，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠O與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠O的關系；
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）探究2結論：∠BOC= ∠A，
理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2?∠1= ∠A+∠1?∠1= ∠A；
（2）探究3：∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），
∠BOC=180°?∠0BC?∠OCB，
=180°? （∠A+∠ACB）? （∠A+∠ABC），
=180°? ∠A? （∠A+∠ABC+∠ACB），
結論∠BOC=90°? ∠A．

點評：本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵，讀懂題目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．

綜合驗收評估測試題
(時間：120分鐘 滿分：120分)
一、選擇題
1.若一個正多邊形的一個外角是40°，則這個正多邊形的邊數是 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．如圖7-65所示的是“北大西洋公約組織”標志的主體部分（平面圖），它是由四個完全相同的四邊形OABC拼成的.測得AB=BC,OA=OC,OA⊥OC, ∠ABC=36°,則∠OAB的度數是 ( )
A.116° B.117° C.118° D.119°

3.如圖7-66所示,在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,則∠A等于 ( )
A.30° B.40° C.45° D.36°
4.一個等腰三角形(有兩條邊相等的三角形)的兩邊長分別為4.6和9.2,則此三角形的周長為 ( )
A.23 B.18.4 C.23或18.4 D.13.8
5.把14 cm長的細鐵絲截成三段,圍成不等邊三角形,并且使三邊長均為整數,那么 ( )
A.只有一種截法 B.有兩種截法
C.有三種截法 D.有四種截不動
6.一個多邊形的每一個內角都是120°,這個多邊形是 ( )
A.正四邊形 B.正五邊形 C.正六邊形 D.正七邊形
7.一個凸n邊形的n個內角的和與某一外角的總和為1500°,則n的值為 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.一個多邊形木板截去一個三角形后(截線不經過頂點),得到新多邊形的內角和為2340°,則原多邊形的邊數為 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
9.若n邊形的內角和是1260°,則邊數n為 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
10.若一個多邊形的每一個外角都等于72°,則這個多邊形是 ( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形
二、填空題
11.若一個三角形的三邊長都是整數,周長為5,則最小邊為_______.
12.木工師傅做完門框后,為防止變形,通常在角上釘一斜條,根據是________.
13.小明繞著五邊形各邊走一圈,他共轉了_________度.
14.如果一個多邊形各邊相等,周長為70,且內角和為1440°,那么它的邊長為________.
15.若多邊形的邊數由5條增加了n條,則內角和增加了_________.
16.平面內,當繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角恰好圍成一個_______時,就能拼成一個平面圖形.
17.如果只用圓、正五邊形、矩形中的一種圖形鑲嵌整個平面，那么這個圖形只能是________.
18.如圖7-67所示,有一底角為35°的等腰三角形紙片,現過底邊上一點,沿與底邊垂直的方向將其剪開,分成三角形和四邊形兩部分,則四邊形中的最大角的度數是______.
三、解答題
19.如圖7-68所示,D是△ABC中BC邊上一點.求證2AD＜AB+BC+AC.
20.如圖7-69所示, ∠1+∠2+∠3+∠4為多少度?

21.如圖7-70所示,求 的度數.
22.一個多邊形切去一個角后是十邊形,求原多邊形的內角和.
23.一個凸多邊形,除了一個內角外,其余各角的和為2750°,求這個多邊形的邊數.


參考答案
1.B
2.B
3.D
4.A[提示:根據兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊判斷,等腰三角形的腰長只能為9.2.]
5.D[提示:①3,5,6;②4,5,5;③2,6,6;④6,4,4.]
6.C[提示:根據多邊形內角和定理得(n-2) ?180°=n?120°.]
7.D[提示:根據多邊形內角和定理及題意有(n-2) ?180°＜1500°,n取最大值.]
8.B[提示:截線不經過頂點時,原n邊形變為(n+1)邊形,則有(n+1-2)?180°=2340°，n=14.]
9.B[提示：根據多邊形內角和定理得（n-2）?180°=1260°,n=9.]
10.C[提示：外角為72°，則內角為108°.根據（n-2）?180°=108°?n，得n=5.]
11．1[提示：周長為5，三邊長分別為1，2，2.]
12．三角形具有穩定性
13．540
14．7[提示：根據內角和定理得（n-2）?180°=1440°，n=10，則邊長為7.]
15．180n°
16．周角[提示：根據平面鑲嵌的條件.]
17．矩形
18．125°
19．提示：根據三角形三邊長的關系進行推理.在△ABD中，AD＜AB+BD①.在△ADC中，AD＜AC+DC②.①+②即可得到結論.
20．提示：該圖為四邊形，內角和為360°.
21．解：原式=180°-∠1+180°-∠3+180°-∠5=540°-（∠1+∠3+∠5）.又∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，且∠2+∠4+∠6=180°，∴原式=360°.
22．解：分三種情況：①切線不經過頂點，則原多邊形有9條邊，內角和為（9-2）×180°=1260°；②切線經過一個頂點，則原多邊形有10條邊，內角和為（10-2）×180°=1440°；③切線經過兩個頂點，則原多邊形有11條邊，內角和為（11-2）×180°=1620°.
23．解：設邊數為n（n≥3，n為自然數），除去的內角為x°(0＜x＜180)，根據題意，得2750+x=(n-2)?180,所以x=(n-2)?180-2750，因為0＜x＜180,所以 ＜n＜ ，所以n=18.所以這個多邊形的邊數為18.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.bianbian123.com/chuyi/72257.html

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