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第二十七章 相似
本章小結
小結1 本章概述
本章內容是對三角形知識的進一步認識，是通過許多生活中的具體實例來研究相似圖形．在全等三角形的基礎上，總結出相似三角形的判定方法和性質，使學過的知識得到鞏固和提高．在學習過程中，通過大量的實踐活動來探索三角形相似的條件，并應用相似三角形的性質及判定方法來研究和解決實際問題．在研究相似三角形的基礎上學習位似圖形，知道位似變換是特殊的相似變換．
小結2 本章學習重難點
【本章重點】 通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，掌握相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于相似比的平方．了解兩個三角形相似的概念，探索兩個三角形相似的條件．
【本章難點】 通過具體實例觀察和認識生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題．
【學習本章應注意的問題】
通過生活中的實例認識物體和圖形的相似，探索并認識相似圖形的特征，掌握相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例以及面積的比與相似比的關系，能利用相似三角形的性質解決一些簡單的實際問題，了解圖形的位似，能利用位似將一個圖形放大或縮小，會建立坐標系描述點的位置，并能表示出點的坐標．
小結3 中考透視
圖形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性質，了解線段的比及成比例線段．(2)認識相似圖形，了解相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積比等于相似比的平方．(3)了解兩個三角形相似的概念，掌握兩個三角形相似的條件，能利用圖形的相似解決一些實際問題．(4)了解圖形的位似，能利用位似將一個圖形放大或縮小．
相似是平面幾何中重要的內容，在近幾年的中考中題量有所增加，分值有所增大，且題型新穎，如閱讀題、開放題、探究題等．由于相似圖形應用廣泛，且與三角形、平行四邊形聯系緊密，估計在今后中考的填空題、選擇題中將會注重相似三角形的判定與性質等基礎知識的考查，并在解答題中加大知識的橫向與縱向聯系．具體考查的知識點有相似三角形的判定、相似三角形的性質、相似三角形的實際應用、圖形的放大與縮小等．
知識網絡結構圖

專題總結及應用
一、知識性專題
專題1 比例線段
【專題解讀】 解決有關比例線段的問題時，常常利用三角形相似來求解．
例1 如圖27－96所示，A，B，D，E四點在⊙O上，AE，BD的延長線相交于點C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．
(1)求證 ；
(2)計算CD?CB的值，并指出CB的取值范圍．
分析 利用△CDE∽△CAB，可證明 ．
證明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，∴ .
解：(2)∵AE＝8，OC＝12，
∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．
又∵ ，
∴CD?CB＝AC?CE＝16×8＝128．
連接OB，在△OBC中，OB＝ AE＝4，OC=12，
∴8＜BC＜16．
【解題策略】 將證 轉化為證明△CDE∽△CAB.
專題2 乘積式或比例式的證明
【專題解讀】 證明形如 ， 或 =1的式子，常將其轉化為若干個比例式之積來解決．如要證 ，可設法證 ， ，然后將兩式相乘即可，這里尋找線段x便是證題的關鍵。
例2 如圖27－97所示，在等腰三角形ABC中，過A作AD⊥BC，過C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求證 ．
分析 欲證 ，可將其分成三個比例式 ， ， ，再將三式相乘即可．不難得知x就是CD，而線段y在原圖中沒有，由相似關系可延長FG交AB于K，則y就是GK，只要證明 就可以了．
證明：延長FG交AB于K，連接DK，
∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，∴EF＝CF．
∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，
∴Rt△FDC≌Rt△EKF，
∴KF＝DC，∠3＝∠4，
∴四邊形KFCD是平行四邊形，∴∠2＝∠5，
∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，
∴DK⊥AB，
∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，
∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴ ．①
∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴ ．②
在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．
又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴ ．③
由①×②×③，得 ．
例3 如圖27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求證 .
分析 原式等價于 ＝1，也就是 ，在CA上取一點D，使CD＝BC，原式就變成 ，要證明這個比例式，需要構造相似三角形，為此作∠ACB的平分線CE，交AB于點E，連接DE，顯然有△BCE≌△DCE，從而易證AD＝DE＝CE，于是只需證 即可．
證明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4，
∴設∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝4x
作CE平分∠BCA，交AB于E，
在AC邊上取一點D，使CD＝CB，連接DE，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x，
又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE，
又∵DE＝EC，∴AD＝CE．
在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2x，
∴△ABC∽△ACE，∴ ，
即 ，
∴ ,∴ =1
即 .
二、規律方法專題
專題3：相似三角形的性質
【專題解讀】 相似三角形是初中數學重要的內容之一，其應用廣泛，可以證明線段相等、平行、垂直，也可以計算圖形的面積及線段的比值等，解題的關鍵是識別(或構造)相似三角形的基本圖形．
例4 如圖27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC， ，DE＝4 cm，則BC的長為 ( )
A．8 cm B．12 cm
C．11 cm D．10 cm
分析 由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC， ．因為 ，所以 ,所以 ．因為DE=4 cm，所以BC=12 cm故選B.
例5 如圖27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度數；
(2)求DE的長．
分析 (1)由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝ ∠ABC，可求∠EDB．(2)由DE∥BC，得△ADE△ACB，則 ，再證出BE＝DE，可求DE．
解：(1)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC＝ ∠ABC＝ ×80°＝40°，∴∠EDB＝40°．
(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，
∴ .
∴ ，∴DE=6 cm
【解題策略】 將比例式中的AE轉化為AB－DE，逐步由未知轉化為已知，建立關于DE的關系式來求解．
例6 如圖27－101所示，點D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求證△ABC∽△FDE．
分析 由已知可證∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，從而可證△ABC∽△FDE．
證明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，
∴△ABC∽△FDE．
例7 （08?無錫）如圖27－102所示，已知點正是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于點F，求證△ABF∽△EAD．

分析 由矩形的性質可知∠BAD＝∠D＝90°，再由BF⊥AE可證∠AFB＝∠D和∠DAE＝∠FBA，從而證明△ABF∽△EAD．
證明：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D=90°，
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝∠D＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°．
又∵∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
∴△ABF∽△EAD，
三、思想方法專題
專題4 分類討論思想
【專題解讀】 分類討論思想是一種重要的數學思想，我們在研究問題的解法時，應把可能出現的各種情況都加以考慮，這樣才能全面、嚴謹地思考問題．
例8 在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中點，過點D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有 條．
分析 如圖27－103所示，過點D作AB的平行線，或過點D作DF∥BC，或作∠CDH＝∠B，或作∠ADG＝∠B，故填4．
專題5 建模思想
【專題解讀】本章建模思想多用于將實際問題轉化為幾何圖形，然后根據相似的性質解決問題．
例9 如圖27－104所示，小明想用皮尺測量池塘A，B間的距離，但現有皮尺無法直接測量池塘A，B間的距離，學習有關的數學知識后，他想出了一個主意，先在地面上取一個可以直接到達A，B兩點的點O，連接OA，OB，分別在OA，OB上取中點C，D，連接CD，并測得CD＝a，由此他知道A，B間的距離是( )
A． a B．2a C．a D．3a
分析 ∵D，C分別為OB，OA的中點，∴CD是△ABO的中位線，∴CD＝ AB，∴AB＝2CD＝2a．故選D．
【解題策略】 此題將所求問題轉化為三角形中位線的問題來解決．
例10 如圖27－105所示，九年級(1)班課外活動小組利用標桿測量學校旗桿的高度，已知標桿高度CD＝3 m，標桿與旗桿的水平距離BD＝15 m，人的眼睛與地面的高度EF＝1．6 m，人與標桿CD的水平距離DF＝2 m，求旗桿AB的高度．
分析 利用相似三角形得比例式，構建線段關系求線段長．
解：因為CD⊥FB，AB⊥FB，所以CD∥AB，
所以△CGE∽△AHE，所以 ，
即 ，
所以 ，解得AH＝11．9，
所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5(m)．
故旗桿AB的高度為13．5 m．
專題6 轉化思想
【專題解讀】 本章中的轉化思想主要用于解決一些比例線段的問題．
例11 如圖27－106所示，已知E為 ABCD的邊CD延長線上的一點，連接BE交AC于O，交AD于F．求證BO2＝OF?OE．
分析 要證BO2＝OF?OE，只需證 ，而OB，OE，OF在一條直線上，因此不能通過三角形相似證得，于是想到要用中間比，而由已知可證△AOF∽△COB和△AOB∽△COE，即有 ， ，從而得證．
證明：在 ABCD中，AB∥CE，AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，△AOB∽△COE，
∴ ， ，
∴ ，
∴OB2＝OF?OE．
例12 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周長是16，面積是12，那么△DEF的周長、面積依次為 ( )
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
分析 由AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，得△ABC∽△DEF，且相似比為2，則 ，所以S△DEF＝ ＝3，△DEF的周長為 ＝8．故選A．
例13 已知△ABC與△DEF相似且面積比為4：25，則△ABC與△DEF的相似比為 ．
分析 利用相似三角形的性質求解．故填2：5．
例14 已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，則AB：A′B′＝ ．
分析 根據相似三角形面積比等于相似比的平方，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，得AB：A′B′＝1： .故填1： .
2011中考真題精選
1. （2010廣東，3，3分）將左下圖中的箭頭縮小到原來的 ，得到的圖形是（　　）

考點：相似圖形
分析：根據相似圖形的定義，結合圖形，對選項一一分析，排除錯誤答案．
解答：解：∵圖中的箭頭要縮小到原來的 ，∴箭頭的長、寬都要縮小到原來的 ；
選項B箭頭大小不變；選項C箭頭擴大；選項D的長縮小、而寬沒變．故選A．
點評：本題主要考查了相似形的定義，聯系圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換．
2. （2011，臺灣省，22,5分）某校每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表為該校學生上、下學期各社團的人數比例．若該校上、下學期的學生人數不變，相較于上學期，下學期各社團的學生人數變化，下列敘述何者正確？（　　）
舞蹈社溜冰社魔?社
上?期345
下?期432
A、舞蹈社不變，溜冰社減少B、舞蹈社不變，溜冰社不變
C、舞蹈社增加，溜冰社減少D、舞蹈社增加，溜冰社不變
考點：比例的性質。
專題：計算題。
分析：若甲：乙：丙=a：b：c，則甲占全部的 ，乙占全部的 ，丙占全部的 ．
解答：解：由表得知上、下學期各社團人數占全部人數的比例如下：
舞蹈社溜冰社魔?社
上?期 =
=
=

下?期 =
=
=

∴舞蹈社增加，溜冰社不變．
故選D．
點評：本題考查了比例的性質：兩內項之積等于兩外項之積．
3. （2011，臺灣省，33,5分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F兩點分別在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD與梯形EBCF相似，則AD與BC的長度比為何？（　　）

A、1：2B、2：3
C、2：5D、4：9
考點：相似多邊形的性質。
分析：根據兩個梯形相似，則對應邊的比相等，即可求解．
解答：解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3
∴AD：EF=EF：BC=2：3?AD：EF：BC=4：6：9
∴AD：BC=4：9．
故選D．
點評：本題主要考查了相似多邊形的性質，正確理解性質是關鍵．
4. （2011貴州畢節，7，3分）兩個相似多邊形的面積比是 ，其中較小多邊形周長為36cm，則較大多邊形周長為( )
A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm
考點：相似多邊形的性質。
分析：根據相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計算即可．
解答：解：兩個相似多邊形的面積比是9：16，面積比是周長比的平方，則大多邊形與小多邊形的相似比是4：3．相似多邊形周長的比等于相似比，因而設大多邊形的周長為x，則有 = ，解得：x=48．大多邊形的周長為48cm．故選A．
點評：本題考查相似多邊形的性質．相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．
（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的邊長為1，∠ADC=60，等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點E、F。
（1）（4分）特殊發現：如圖1，若點E、F分別是DC、CB的中點，求證菱形ABCD對角母AC、BD的交點O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為點P。
①（4分）猜想驗證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②（5分）拓展運用：如圖3，猜想△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷 是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由。
考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；菱形的性質；三角形的外接圓與外心．
分析：（1）首先分別連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點，即可證得0E=OF=OA，則可得點O即為△AEF的外心；
（2）①首先分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度數，又由點P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上．
②當AE⊥DC時．△AEF面積最小，此時點E、F分別為DC、CB中點．連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可 為定值2．
解答：（1）證明：如圖1，分別連接OE、0F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點，
∴OE= CD，OF= BC，AO= AD，
∴0E=OF=OA，
∴點O即為△AEF的外心．

（2）①猜想：外心P一定落在直線DB上．
證明：如圖 2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵點P是等邊△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上．
② 為定值2．
當AE⊥DC時．△AEF面積最小，
此時點E、F分別為DC、CB中點．
連接BD、AC交于點P，由（1）
可得點P即為△AEF的外心．
如圖3．設MN交BC于點G，
設DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），則CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴△GBP∽△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA，
∴△GBP∽△NDM，
∴ ，
∴ ，
∴x+y=2xy，
∴ + =2，
即 =2
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的外心的判定與性質，以及菱形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形也比較復雜，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應
（2011甘肅蘭州，27，12分）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE。
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長；
（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=AC?AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由.

考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的性質；翻折變換（折疊問題）.
分析：（1）通過證明△AOE≌△COF，可得四邊形AFCE是平行四邊形；由折疊的性質，可得AE=EC，即可證明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面積為24cm2可得，AB×BF=48；變換成完全平方式，即可解答；（3）過點E作AD的垂線，交AC于點P，通過證明△AOE∽△AEP，即可證明；
解答：（1）證明：由題意可知OA=OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形；

（2）∵四邊形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，
設AB=a，BF=b，∵△ABF的面積為24cm2，
∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，
∴a+b=14或a+b=?14（不合題意，舍去），
∴△ABF的周長為14+10=24cm；

（3）存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P，點P就是符合條件的點；
證明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，∴ = ，∴AE2=AO?AP，
∵四邊形AECF是菱形，∴AO= AC，∴AE2= AC?AP，∴2AE2=AC?AP．
點評：本題考查了相似和全等三角形的判定和性質、勾股定理及矩形的性質，考查了知識點較多，綜合性較強，考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力．
（2011湖南益陽,21,12分）如圖是小紅設計的鉆石形商標，△ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）證明：△ABE≌△CBD；
（2）圖中存在多對相似三角形，請你找出一對進行證明，并求出其相似比（不添加輔助線，不找全等的相似三角形）；
（3）小紅發現AM=MN=NC，請證明此結論；
（4）求線段BD的長．

考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性質．
專題：證明題．
分析：（1）由△ABC是等邊三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四邊形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；
（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；
（3）由（2）的結論得 = =2，即CN= AC，同理，得AM= AC，可證AM=MN=NC；
（4）作DF⊥BC交BC的延長線于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．　（1分）
∵四邊形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，
∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD．（2分）
在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD．（3分）

（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．
證明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，
∴△ANB∽△CND．（5分）
其相似比為： = =2；（6分）

（3）由（2）得 = =2，
∴CN= AN= AC，（8分）
同理AM= AC，
∴AM=MN=NC．（9分）

（4）作DF⊥BC交BC的延長線于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°．（1O分）
在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，
∴CF= CD= ，
∴DF= = = ；　（11分）
在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+ = ，DF= ，
∴BD= = = ．（12分）
點評：本題考查了相似三角形．全等三角形的判定與性質，特殊三角形，等腰梯形的性質，勾股定理的運用．關鍵是根據等邊三角形，等腰梯形的特殊性質得出平行線，構造直角三角形，利用勾股定理解題．
（2011?江西，25，10）某課題學習小組在一次活動中對三角形的內接正方形的有關問題進行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內接正方形．
結論：在探討過程中，有三位同學得出如下結果：
甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在　 　個、　 　個、　 　個大小不同的內接正方形．
乙同學：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內接正方形的面積較大．
丙同學：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較小．
任務：（1）填充甲同學結論中的數據；
（2）乙同學的結果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明；
（3）請你結合（2）的判定，推測丙同學的結論是否正確，并證明．

考點：相似三角形的判定與性質；正方形的性質。
分析：（1）分別畫一下即可得出答案；
（2）先判斷，再舉一個例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則 ．
（3）先判斷，再舉一個例子：設△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設a＞b＞c，三條邊上的對應高分別為ha，hb，hc，內接正方形的邊長分別為xa，xb，xc．
解答：解：（1）1，2，3．（3分）
（2）乙同學的結果不正確．（4分）
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則 ．
如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內接正方形．
設它的邊長為a，則依題意可得： ，∴ ，
如圖②，四邊形DEFH兩個頂點都在斜邊上的內接正方形．
設它的邊長為b，則依題意可得： ，∴ ．
∴a＞b．（7分）
（3）丙同學的結論正確．
設△ABC的三條邊分別為 不妨設 ，三條邊上的對應高分別為 ，內接正方形的邊長分別為 .
依題意可得： ， ∴ .同理 .

=
=
=
又∵ ， ∴ ，
∴ ，即 .
∴在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較小. (10分)

點評：本題是一道難度較大的題目，考查了相似三角形的判定和性質以及正方形的性質，舉出例子是解此題的關鍵．
（2011年江西省，25，10分）某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：
設∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上．
活動一：
如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，A1A2為第1根小棒．
數學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：能（填“能“或“不能”）
（2）設AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ= 22.5度；
②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此時a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）．
活動二：
如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1．
數學思考：
（3）若已經向右擺放了3根小棒，則θ1= 2θ，θ2= 3θ，θ3= 4θ（用含θ的式子表示）；
（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍．

考點：相似三角形的判定與性質；一元一次不等式組的應用；平行線的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形．
專題：規律型．
分析：（1）本題需先根據已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端分別落在兩射線上，從而判斷出能繼續擺下去．
（2）本題需先根據已知條件AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，得出A2A3和AA3的值，判斷出A1A2∥A3A4、A3A4∥A5A6，即可求出∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A，從而此時a2，a3的值和出an．
（3）本題需先根據A1A2=AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同樣道理得出θ2、θ3的值．
（4）本題需先根據已知條件，列出不等式組，解出θ的取值范圍，即可得出正確答案．
解答：解：（1）∵根據已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端能分別落在兩射線上，
∴小棒能繼續擺下去．
（2）①∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3=45°
∴∠AA2A1+∠θ=45°
∵∠AA2A1=∠θ
∴∠θ=22.5°
②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3
∴A2A3= ，AA3=1+
又∵A2A3⊥A3A4
A1A2∥A3A4
同理；A3A4∥A5A6
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5
∴AA3A3A4，AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=1+
a3?AA3+A3A5=a2+A3A5
∵A3A5=
∴a3=A5A6=AA5=a2 + a2=
∴an=
（3）∵A1A2=AA1
∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ
∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ
∴θ1=2θ
同理可得：θ2=3θ θ3=4
（4）由題意得：

∴15°＜θ≤18°。
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，在解題時要注意根據題意找出規律并與相似三角形的性質相結合是本題的關鍵．



綜合驗收評估測試題
(時間：120分鐘 滿分：120分)
一、選擇題
1．要做甲、乙兩個形狀相同(相似)．的三角形框架，已知三角形框架甲的三邊長分別為50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一邊長為20 cm，那么符合條件的三角形框架乙共有 ( )
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
2．如圖27－107所示，在△ABC中，已知∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，則BC的長為 ( )
A. B．7 C． D.

3．如圖27－108所示，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，若△ABC的面積為12cm2，則△ADE的面積為 ( )
A．2 cm2 B．3 cm2 C．4 cm2 D．6 cm2
4．廚房角柜的臺面是三角形，如果把各邊中點的連線所圍成的三角形鋪上黑色大理石，如圖27?109所示，其余部分鋪上白色大理石，那么黑色大理石與白色大理石的面積比為 ( )
A．1：4 B．4：1 C．1：3 D．3：4
5．如圖27－110所示，D是△ABC的邊AB上一點，過D作DE∥BC交AC于E，若AD： DB＝2：3，則S△ADE：S四邊形BCED等于 ( )
A．2：3 B．4：9 C．4；5 D．4：21
6．如圖27－111所示，DE是△ABC的中位線，F是DE的中點，BF的延長線交AC于點H，則AH：HE等于 ( )
A．1：1 B．2：1 C．1： D．3：2
7．△ABC的三邊長分別為 ， ，2，△A′B′C′的兩邊長分別為1和 ，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長應為 ( )
A. B． C. D．

8．如圖27－112所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE＝S四邊形BDEC，則DE：BC等于( )
A．1:2 B． ：2 C．1：4 D．2：3
9．如圖27－113所示，在 ABCD中，CE是∠DCB的平分線，F是AB的中點，AB＝6，BC＝4，則AE：EF：FB等于 ( )
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
10．點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線(不與直線AB重合)截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，則滿足這樣條件的直線最多有 ( )
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
二、填空題
11．如圖27－114所示，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若AD＝3.2，DB＝2.4，AE＝2.8，則AC＝ ．
12．一根2米長的竹竿直立在操場上，影長為1.6米，在同一時刻，測得旗桿的影長為17．6米，則旗桿高 米．
13．若△ABC∽△A′B′C′，AC＝5，A′C′＝8，則 S△ABC：S△A′B′C′
= ．
14．已知兩個相似多邊形的一組對應邊長分別為3 cm和4 cm，如果它們的面積和為50 cm2，則較大多邊形的面積為 cm2．
15．若一個多邊形在圖上的面積為4 cm2，比例尺為1：1000，則該多邊形的實際面積為 m2．
16．已知△ABC∽△DEF，相似比為3，△ABC的周長為54 cm，若△DEF的三邊長之比為2：3：4，則△DEF的最短邊長為 cm．
三、解答題
17．如圖27－115所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點D在AC上，且AD＝2，在AB上找一點E，使得△ADE與原三角形相似，這樣的點E有幾個?求出AE的長．
18．如圖27－116所示，已知在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝20，點M分BC為BM：MC＝1：2，DE⊥AM于點E，求DE的長．
19．如圖27－117所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中點，DE⊥AM，垂足為E，求DE的長．

20．如圖27－118所示，在△ABC中，已知AB＝AC＝8，BC＝6，BD⊥AC于D，AE⊥BC于E，求CD的長．
21．如圖27－119所示，已知CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，若AD＝10，BD＝5，求CD的長．

22．如圖27－120所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE：S四邊形BCED＝1：3，求AD：DB．
23．在Rt△ABC中，CD為斜邊上的高，試確定AC是哪兩條線段的比例中項，用比例式或等積式寫出你的結論，并加以證明．
24．如圖27－121所示，在正方形ABCD中，E是AB上一點，EF⊥CE交AD于F．
(1)求證△AEF∽△BCE；
(2)求證 .

25．如圖27－122所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．
(1)當BD與a，b之間滿足怎樣的關系時，△ABC∽△CDB；
(2)過A作BD的垂線，與DB的延長線交于點E，若△ABC∽△CDB，試判斷四邊形AEDC是什么四邊形．
26．如圖27－123所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，點P在AC上，點Q在BC上．
(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；
(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；
(3)在AB上是否存在點M，使△PQM為等腰直角三角形?若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由．


參考答案
1．C[提示：由題意知兩個三角形相似，三角形乙中20 cm的邊可以和三角形甲中的三邊任何一邊是對應邊，所以符合條件的三角形共有3種．]
2．C[提示：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴ ，∴ ，∴BC＝ .故選C．]
3．B[提示：∵D，E分別為AB，AC的中點，∴DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴ ，∴ ．∴S△ADE＝3．故選B.]
4．C[提示：由題意得被分割成的4個小三角形的面積相等，所以黑色大理石與白色大理石的面積比為1：3．]
5．D[提示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = ，∴ .故選D.]
6.B[提示：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴△HFE∽△HBC，∴ ，∴ .∵AE=EC，∴ ,∴AH：HE＝2：1．]
7．A[提示：∵ ＝ ，設第三邊長為x，∵ ，∴x＝ .故選A．]
8．B[提示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵S△ADE＝S四邊形BDEC，∴ ，∴ ．]
9．B[提示：∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE．又∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE，∴BE＝BC＝4，∴AE＝2．∵AF＝3，∴EF＝1，又BF＝3，∴AE：EF：FB＝2：1：3．]
10．C[提示：過點P的直線可以分別與AC，BC平行，也可以與AC，BC不平行．]
11．4．9[提示：∵DE∥BC,△ADE∽△ABC，∴ ，∴ ，∴AC=4．9．] 12．22[提示：在同一時刻物高與影長成正比，∴ ，x＝22．]
13．25：64[提示：相似三角形的面積比等于相似比的平方．]
14．32[提示：設較大多邊形的面積為x cm2，則 ，∴x=32．]
15．400[提示： ，∴x=4000000 cm2，即400 m2．]
16．4[提示：△ABC的最短邊長為54× ＝12，∵相似比為3，∴△DEF的最短邊長為4 cm．]
17．解：這樣的點正有兩個．若△AED∽△ABC，則 ，∴ ，∴AE = ；△AED∽△ACB，則 ，∴ ，∴AE＝ .
18．解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠E＝∠ABM＝90°，∴△ABM∽△DEA，∴ ．∵BM= ，AB=5，∴AM= ，∴ ，∴DE＝12．
19．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴△ABM∽△DEA，∴ ．在Rt△ABM中，AM= =5，∴ ，∴DE= ．
20．解：∵AE⊥BC，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠BDC＝90°．又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACE，∴ ，∴ ，∴CD＝ ．
21．解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠DCB＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴ ，∴CD2=AD?BD=50，∴CD=5 .
22．解：∵S△ADE：S四邊形BCED=1：3，∴S△ADE：S△ABC：1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝1：2，∴AD：DB＝1：1．
23．解：AC2＝AB?AD或 ．證明過程如下．∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ ，即AC2＝AB?AD．
24．證明：(1)∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠ECB＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，又∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BCE．
(2)∴△AEF∽△BCE，∴ ，又CD=BC，∴ .
25．解：(1)若△ABC∽△CDB，則 ，∴BD＝ ，∴當BD＝ 時，△ABC∽△CDB． (2)∵△ABC∽△CDB，∴∠ACD＝90°．又∵∠D＝∠E＝90°，∴四邊形AEDC為矩形．
26．解：(1)∵S△PQC＝ S四邊形PABQ，∴S△PQC：S△ABC＝1：2．∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴ ＝1：2，∴PC2＝ ?AC2＝ ×42＝8，∴PC＝2
(2)∵△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等，∴PC+CQ＝PA+AB+QB＝△ABC的周長的一半＝6．又∵PQ∥AB，∴ ，即 ，∴CP＝ ．
(3)存在點M使△PQM為等腰直角三角形．①如圖27－124所示，當∠MPQ＝90°，PM＝PQ時，∠C＝90°，△ABC中AB邊上的高為 ，設PM＝PQ＝x．∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴ ，∴x＝ ，即PQ＝ ．當∠M′QP＝90°，QP＝QM′時，同理可得PQ＝ ．
②如圖27－125所示，當∠PMQ＝90°，MP＝MQ時，可得點M到PQ的距離為 PQ.設PQ＝x，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴ ＝ ，解得x= ，即PQ= .


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