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湖南省湘西州2013年中考數學試卷
一、題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
1．（3分）（2013?湘西州）?2013的絕對值是　2013�。�
考點：絕對值
分析：根據負數的絕對值等于它的相反數即可求解．
解答：解：?2013=2013．
故答案為：2013．
點評：考查了絕對值，計算絕對值要根據絕對值的定義求解．第一步列出絕對值的表達式；第二步根據絕對值定義去掉這個絕對值的符號．
　
2．（3分）（2013?湘西州）如圖，直線a和直線b相交于點O，∠1=50°，則∠2　=50°�。�
考點：對頂角、鄰補角．
分析：根據對頂角相等即可求解．
解答：解：∵∠2與∠1是對頂角，
∴∠2=∠1=50°．
故答案為=50°．
點評：本題考查了對頂角的識別與對頂角的性質，牢固掌握對頂角相等的性質是解題的關鍵．
　
3．（3分）（2013?湘西州）吉首至懷化的高速公路2014年12月23日順利通車后，赴鳳凰古城游玩的游客越來越多．據統計，今年春節期間，鳳凰古城接待游客約為210000人，其中210000人用科學記數法表示為　2.1×105　人．
考點：科學記數法—表示較大的數．3
分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答：解：將210000用科學記數法表示為2.1×105．
故答案為：2.1×105．
點評：此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
4．（3分）（2013?湘西州）函數y= 的自變量x的取值范圍是　x �。�
考點：函數自變量的取值范圍．
專題：函數思想．
分析：根據二次根式的性質，被開方數大于或等于0，可以求出x的范圍．
解答：解：根據題意得：3x?1≥0，
解得：x≥ ．
故答案為：x≥ ．
點評：考查了函數自變量的取值范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：
（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；
（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．
　
5．（3分）（2013?湘西州）下面是一個簡單的數值運算程序，當輸入x的值為3時，則輸出的數值為　1�。�（用科學記算器計算或筆算）
考點：代數式求值．
專題：圖表型．
分析：輸入x的值為3時，得出它的平方是9，再加（?2）是7，最后再除以7等于1．
解答：解：由題圖可得代數式為：（x2?2）÷7．
當x=3時，原式=（32?2）÷7=（9?2）÷7=7÷7=1
故答案為：1．
點評：此題考查了代數式求值，此類題要能正確表示出代數式，然后代值計算，解答本題的關鍵就是弄清楚題目給出的計算程序．
　
6．（3分）（2013?湘西州）小明把如圖所示的矩形紙板掛在墻上，玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上），則飛鏢落在陰影區域的概率是　 �。�
考點：幾何概率．
分析：先根據矩形的性質求出矩形對角線所分的四個三角形面積相等，再求出S1=S2即可．
解答：解：根據矩形的性質易證矩形的對角線把矩形分成的四個三角形均為同底等高的三角形，故其面積相等，
根據平行線的性質易證S1=S2，故陰影部分的面積占一份，
故針頭扎在陰影區域的概率為 ．
點評：此題主要考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．
　
二、（本大題小題，每小題分，共分，將每個小題所給四個選項中唯一正確選項的代號涂在答題卡上）
7．（3分）（2013?湘西州）下列運算正確的是（　�。�
　A．a2?a4=a8B．（x?2）（x?3）=x2?6C．（x?2）2=x2?4D．2a+3a=5a
考點：完全平方公式；合并同類項；多項式乘多項式．
分析：根據合并同類項的法則，多項式乘多項式的法則，完全平方公式對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答：解：A、a2與a4不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；
B、（x?2）（x?3）=x2?5x+6，故本選項錯誤；
C、（x?2）2=x2?4x+4，故本選項錯誤；
D、2a+3a=5a，故本選項正確．
故選D．
點評：本題考查了合并同類項，多項式乘多項式，完全平方公式，屬于基礎題，熟練掌握運算法則與公式是解題的關鍵．
　
8．（3分）（2013?湘西州）若x＞y，則下列式子錯誤的是（　　）
　A．x?3＞y?3B．?3x＞?3yC．x+3＞y+3D． ＞
考點：不等式的性質．
分析：根據不等式的性質在不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變即可得出答案．
解答：解：A、不等式兩邊都減3，不等號的方向不變，正確；
B、乘以一個負數，不等號的方向改變，錯誤；
C、不等式兩邊都加3，不等號的方向不變，正確；
D、不等式兩邊都除以一個正數，不等號的方向不變，正確．
故選B．
點評：此題考查了不等式的性質，掌握不等式的性質是解題的關鍵，不等式的性質：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．
　
9．（3分）（2013?湘西州）下列圖形中，是圓錐側面展開圖的是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：幾何體的展開圖．
分析：根據圓錐的側面展開圖的特點作答．
解答：解：圓錐的側面展開圖是光滑的曲面，沒有棱，只是扇形．
故選B．
點評：考查了幾何體的展開圖，圓錐的側面展開圖是扇形．
　
10．（3分）（2013?湘西州）在某次體育測試中，九年級（2）班6位同學的立定跳遠成績（單位：米）分別是：1.83，1，85，1.96，2.08，1.85，1.98，則這組數據的眾數是（　�。�
　A．1.83B．1.85C．2.08D．1.96
考點：眾數．
分析：根據眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數據求解即可．
解答：解：這組數據出現次數最多的是：1.85，共兩次，
故眾數為：1.85．
故選B．
點評：本題考查了眾數的定義，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數據．
　
11．（3分）（2013?湘西州）如圖，一副分別含有30°和45°角的兩個直角三角板，拼成如下圖形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，則∠BFD的度數是（　　）
　A．15°B．25°C．30°D．10°
考點：三角形的外角性質．
專題：探究型．
分析：先由三角形外角的性質求出∠BDF的度數，根據三角形內角和定理即可得出結論．
解答：解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°?45°?120°=15°．
故選A．
點評：本題考查的是三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵．
　
12．（3分）（2013?湘西州）下列說法中，正確的是（　�。�
　A．同位角相等B．對角線相等的四邊形是平行四邊形
　C．四條邊相等的四邊形是菱形D．矩形的對角線一定互相垂直
考點：菱形的判定；同位角、內錯角、同旁內角；平行四邊形的判定；矩形的性質．
分析：根據平行線的性質判斷A即可；根據平行四邊形的判定判斷B即可；根據菱形的判定判斷C即可；根據矩形的性質判斷D即可．
解答：解：A、如果兩直線平行，同位角才相等，故本選項錯誤；
B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤；
C、四邊相等的四邊形是菱形，故本選項正確；
D、矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項錯誤；
故選C．
點評：本題考查了平行線的性質，平行四邊形、菱形的判定、矩形的性質的應用，主要考查學生的理解能力和辨析能力．
　
13．（3分）（2013?湘西州）如圖，在平面直角坐標系中，將點A（?2，3）向右平移3個單位長度后，那么平移后對應的點A′的坐標是（　�。�
　A．（?2，?3）B．（?2，6）C．（1，3）D．（?2，1）
考點：坐標與圖形變化-平移．
分析：根據平移時，點的坐標變化規律“左減右加”進行計算即可．
解答：解：根據題意，從點A平移到點A′，點A′的縱坐標不變，橫坐標是?2+3=1，
故點A′的坐標是（1，3）．
故選C．
點評：此題考查了點的坐標變化和平移之間的聯系，平移時點的坐標變化規律是“上加下減，左減右加”．
　
14．（3分）（2013?湘西州）已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為3cm和5cm，若圓心距O1O2=8cm，則⊙O1與⊙O2的位置關系是（　�。�
　A．相交B．相離C．內切D．外切
考點：圓與圓的位置關系．
分析：由兩圓的半徑分別為3cm和5cm，圓心距為8cm，根據兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系即可得出兩圓位置關系．
解答：解：∵兩圓的半徑分別為3cm和5cm，圓心距為8cm，
又∵5+3=8，
∴兩圓的位置關系是：外切．
故選D．
點評：此題考查了圓與圓的位置關系．注意掌握兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系是解此題的關鍵．
　
15．（3分）（2013?湘西州）小芳的爺爺每天堅持體育鍛煉，某天他慢步行走到離家較遠的公園，打了一會兒太極拳，然后沿原路跑步到家里，下面能夠反映當天小芳爺爺離家的距離y（米）與時間x（分鐘）之間的關系的大致圖象是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：函數的圖象．
分析：分三段考慮，①漫步到公園，此時y隨x的增大緩慢增大；②打太極，y隨x的增大，不變；③跑步回家，y隨x的增大，快速減小，結合選項判斷即可．
解答：解：小芳的爺爺點的形成分為三段：
①漫步到公園，此時y隨x的增大緩慢增大；
②打太極，y隨x的增大，不變；
③跑步回家，y隨x的增大，快速減小，
結合圖象可得選項C中的圖象符合．
故選C．
點評：本題考查了函數的圖象，理解每階段中，離家的距離與時間的關系是解答本題的關鍵．
　
16．（3分）（2013?湘西州）如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長之比是（　�。�
　A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質
分析：根據平行四邊形性質得出AD=BC，AD∥BC，推出△EDF∽△BCF，得出△EDF與△BCF的周長之比為 ，根據BC=AD=2DE代入求出即可．
解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△EDF∽△BCF，
∴△EDF與△BCF的周長之比為 ，
∵E是AD邊上的中點，
∴AD=2DE，
∵AD=BC，
∴BC=2DE，
∴△EDF與△BCF的周長之比1：2，
故選A．
點評：本題考查了平行四邊形性質，相似三角形的性質和判定的應用，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，相似三角形的周長之比等于相似比．
　
三、解答題（本大題9個小題，共72分，每個題目都要求在答題卡的相應位置寫出計算或證明的主要步驟）
17．（8分）（2013?湘西州）計算：（ ）?1? ?sin30°．
考點：實數的運算；負整數指數冪；特殊角的三角函數值
專題：．
分析：本題涉及負指數冪、平方根、特殊角的三角函數值等考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．
解答：解：原式= ?2?
=3?2?
= ．
點評：本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握負指數冪、平方根、特殊角的三角函數值等考點的運算．
　
18．（8分）（2013?湘西州）解方程組： ．
考點：解二元一次方程組．
分析：先由①得出x=1?2y，再把x的值代入求出y的值，再把y的值代入x=1?2y，即可求出x的值，從而求出方程組的解．
解答：解： ，
由①得：x=1?2y ③，
把③代入②得：y=?1，
把y=?1代入③得：x=3，
則原方程組的解為： ．
點評：此題考查了解二元一次方程組，解二元一次方程組常用的方法是加減法和代入法兩種，般選用加減法解二元一次方程組較簡單．
　
19．（8分）（2013?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點，連接AF，CE．
（1）求證：△BEC≌△DFA；
（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
考點：矩形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定
專題：證明題．
分析：（1）根據E、F分別是邊AB、CD的中點，可得出BE=DF，繼而利用SAS可判斷△BEC≌△DFA；
（2）由（1）的結論，可得CE=AF，繼而可判斷四邊形AECF是平行四邊形．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
又∵E、F分別是邊AB、CD的中點，
∴BE=DF，
∵在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（SAS）．
（2）由（1）得，CE=AF，AD=BC，
故可得四邊形AECF是平行四邊形．
點評：本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質及平行四邊形的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握矩形的對邊相等，四角都為90°，及平行四邊形的判定定理．
　
20．（8分）（2013?湘西州）雅安地震，牽動著全國人民的心，地震后某中學舉行了愛心捐款活動，下圖是該校九年級某班學生為雅安災區捐款情況繪制的不完整的條形統計圖和扇形統計圖．
（1）求該班人數；
（2）補全條形統計圖；
（3）在扇形統計圖中，捐款“15元人數”所在扇形的圓心角∠AOB的度數；
（4）若該校九年級有800人，據此樣本，請你估計該校九年級學生共捐款多少元？
考點：條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．
分析：（1）根據5元占總數的百分比以及5元的人數，即可求出總人數；
（2）用總人數減去5元的人數和10元的人數，即可求出15元的人數，補全條形統計圖即可；
（3）先利用15元的人數除以總人數得到其所占總數的百分比，用360度乘以所占的百分比即可得到“15元人數”所在扇形的圓心角∠AOB的度數；
（4）根據調查的某班的捐款數與每種情況的捐款人數，求出某班的平均一個人的捐款數，用九年級的總人數乘以一個人的捐款數，即可估計出九年級學生共捐款的錢數．
解答：解：（1）15÷30%=50（人）；
（2）15元的人數為50?15?25=10（人），補全條形統計圖為：
（3）10÷50=20%，
捐款“15元人數”所在扇形的圓心角∠AOB的度數360°×20%=72°；
（4）15×5+25×10+10×15=475元，
則平均每人捐款為475÷50=9.5元，
估計該校九年級學生共捐款800×9.5=7600元．
點評：此題查考了條形統計圖，扇形統計圖，以及用樣本估計總體，理解清題意是解本題的關鍵．
　
21．（8分）（2013?湘西州）釣魚島自古以來就是中國的神圣領土，為宣誓主權，我海監船編隊奉命在釣魚島附近海域進行維權活動，如圖，一艘海監船以30海里/小時的速度向正北方向航行，海監船在A處時，測得釣魚島C在該船的北偏東30°方向上，航行半小時后，該船到達點B處，發現此時釣魚島C與該船距離最短．
（1）請在圖中作出該船在點B處的位置；
（2）求釣魚島C到B處距離（結果保留根號）
考點：解直角三角形的應用-方向角問題．
分析：（1）根據垂線段最短知B點應是過C點所作南北方向的垂線的垂足．
（2）在Rt△ABC中，利用三角函數的知識求BC即可．
解答：解：（1）如圖：
（2）在Rt△ABC中
∵AB=30×0.5=15（海里），
∴BC=ABtan30°=15× =5 （海里）．
答：釣魚島C到B處距離為5 海里．
點評：考查了解直角三角形的應用?方向角問題，此題為基礎題，涉及用手中工具解題，如尺規，計算器等．
　
22．（8分）（2013?湘西州）吉首城區某中學組織學生到距學校20km的德夯苗寨參加社會實踐活動，一部分學生沿“谷韻綠道”騎自行車先走，半小時后，其余學生沿319國道乘汽車前往，結果他們同時到達（兩條道路路程相同），已知汽車速度是自行車速度的2倍，求騎自行車學生的速度．
考點：分式方程的應用．
分析：首先設騎自行車學生的速度是x千米/時，則汽車速度是2x千米/時，由題意可得等量關系；騎自行車學生行駛20千米所用時間?汽車行駛20千米所用時間= ，根據等量關系，列出方程即可．
解答：解：設騎自行車學生的速度是x千米/時，由題意得：
? = ，
解得：x=20，
經檢驗：x=20是原分式方程的解，
答：騎自行車學生的速度是20千米/時．
點評：此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程，注意分式方程要進行檢驗，這是同學們最容易出錯的地方．
　
23．（8分）（2013?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的長；
（2）求△ADB的面積．
考點：角平分線的性質；勾股定理
分析：（1）根據角平分線性質得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的長，然后計算△ADB的面積．
解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =10，
∴△ADB的面積為S△ADB= AB?DE= ×10×3=15．
點評：本題考查了角平分線性質和勾股定理的運用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
　
24．（8分）（2013?湘西州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數y=kx的圖象與反比例函數y= 的圖象有一個交點A（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求正比例函數y=kx的解析式；
（3）試判斷點B（2，3）是否在正比例函數圖象上，并說明理由．
考點：反比例函數與一次函數的交點問題．
分析：（1）將A（m，2）點代入反比例函數y= ，即可求得m的值；
（2）將A點坐標代入正比例函數y=kx，即可求得正比例函數的解析式；
（3）將x=2代入（2）中所求的正比例函數的解析式，求出對應的y值，然后與3比較，如果y=3，那么點B（2，3）是否在正比例函數圖象上；否則不在．
解答：解：（1）∵反比例函數y= 的圖象過點A（m，2），
∴2= ，
解得m=1；
（2）∵正比例函數y=kx的圖象過點A（1，2），
∴2=k×1，
解得k=2，
∴正比例函數解析式為y=2x；
（3）點B（2，3）不在正比例函數圖象上，理由如下：
將x=2代入y=2x，得y=2×2=4≠3，
所以點B（2，3）不在正比例函數y=2x的圖象上．
點評：本題主要考查反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求反比例函數解析式和反比例函數圖象上點的坐標特征等底知識，解答本題的關鍵是進行數形結合進行解題，熟練掌握反比例函數的性質，本題是一道比較不錯的習題．
　
25．（8分）（2013?湘西州）如圖，已知拋物線y=? x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（?2，0）．
（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．
考點：二次函數綜合題．
分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x= 求出對稱軸方程；
（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標；令y=0，可求出點B坐標．再利用待定系數法求出直線BD的解析式；
（3）根據 ，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；
（4）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解．
解答：解：（1）∵拋物線y=? x2+bx+4的圖象經過點A（?2，0），
∴? ×（?2）2+b×（?2）+4=0，
解得：b= ，
∴拋物線解析式為 y=? x2+ x+4，
又∵y=? x2+ x+4=? （x?3）2+ ，
∴對稱軸方程為：x=3．
（2）在y=? x2+ x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即? x2+ x+4=0，整理得x2?6x?16=0，解得：x=8或x=?2，
∴A（?2，0），B（8，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：
，
解得k= ，b=4，
∴直線BC的解析式為：y= x+4．
（3）可判定△AOC∽△COB成立．
理由如下：在△AOC與△COB中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴ ，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．
（4）∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，
可設點Q（3，t），則可求得：
AC= = = ，
AQ= = ，
CQ= = ．
i）當AQ=CQ時，
有 = ，
25+t2=t2?8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（3，0）；
ii）當AC=AQ時，
有 = ，
t2=?5，此方程無實數根，
∴此時△ACQ不能構成等腰三角形；
iii）當AC=CQ時，
有 = ，
整理得：t2?8t+5=0，
解得：t=4± ，
∴點Q坐標為：Q2（3，4+ ），Q3（3，4? ）．
綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（3，0），Q2（3，4+ ），Q3（3，4? ）．
點評：本題考查了二次函數與一次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點．難點在于第（4）問，符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論．


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