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第二十五 概率
題： 25.1 隨機事
目標：
知識技能目標
了解必然發生的事、不可能發生的事、隨機事的特點.
數學思考目標
學生經歷體驗、操作、觀察、歸納、總結的過程,發展學生從紛繁復雜的表
象中，提煉出本質特征并加以抽象概括的能力.
解決問題目標
能根據隨機事的特點,辨別哪些事是隨機事.
情感態度目標
引領學生感受隨機事就在身邊,增強學生珍惜機會，把握機會的意識.
重點：
隨機事的特點.
教學難點：
判斷現實生活中哪些事是隨機事.
教學過程
<活動一>
【問題情境】
摸球游戲
三個不透明的袋子均裝有10個乒乓球.挑選多名同學參加游戲.
游戲規則
每人每次從自己選擇的袋子中摸出一球,記錄下顏色,放回,攪勻,重復前面的試驗.每人摸球5次.按照摸出黃色球的次數排序,次數最多的為第一名,其次為第二名,最少的為第三名.
【師生行為】
教師事先準備的三個袋子中分別裝有10個白色的乒乓球；5個白色的乒乓球和5個黃色的乒乓球；10個黃色的乒乓球.
學生積極參加游戲,通過操作和觀察,歸納猜測出在第1個袋子中摸出黃色球是不可能的,在第2個袋子中能否摸出黃色球是不確定的,在第3個袋子中摸出黃色球是必然的.
教師適時引導學生歸納出必然發生的事、隨機事、不可能發生的事的特點.
【設計意圖】
通過生動、活潑的游戲,自然而然地引出必然發生的事、隨機事和不可能發生的事,不僅能夠激發學生的學習興趣,并且有利于學生理解.能夠巧妙地實現從實踐認識到理性認識的過渡.
<活動二>
【問題情境】
指出下列事中哪些是必然發生的,哪些是不可能發生的，哪些是隨機事？
1.通常加熱到100°C時，水沸騰；
2.姚明在罰球線上投籃一次，命中；
3.擲一次骰子，向上的一面是6點；
4.度量三角形的內角和，結果是360°；
5. 經過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈；
6.某射擊運動員射擊一次，命中靶心；
7.太陽東升西落；
8.人離開水可以正常生活100天；
9.正月十五雪打燈；
10.宇宙飛船的速度比飛機快.
【師生行為】
教師利用多媒體演示問題,使問題情境更具生動性.
學生積極思考,回答問題,進一步夯實必然發生的事、隨機事和不可能發生的事的特點.在比較充分的感知下，達到加深理解的目的.
教師在學生完成問題后應注意引導學生發現在我們生活的周圍大量地存在著隨機事.
【設計意圖】
引領學生經歷由實踐認識到理性認識再重新認識實踐問題的過程, 同時引入一些常識問題,使學生進一步感悟數學是認識客觀世界的重要工具.
<活動三>
【問題情境】
情境1
5名同學參加講演比賽,以抽簽方式決定每個人的出場順序.簽筒中有5根形狀、大小相同的紙簽,上面分別標有出場的序號1,2,3,4,5.小軍首先抽簽,他在看不到紙簽上的數字的情況下從簽筒中隨機地抽取一根紙簽.
情境2
小偉擲一個質地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數.
在具體情境中列舉不可能發生的事、必然發生的事和隨機事.
【師生行為】
學生首先獨立思考,再把自己的觀點和小組其他同學交流,并提煉出小組成員列舉的主要事，在全班發布.
【設計意圖】
開放性的問題有利于培養學生的發散性思維和創新思維,也有利于學生加深對學習內容的理解.
<活動四>
【問題情境】
請你列舉一些生活中的必然發生的事、隨機事和不可能發生的事.
【師生行為】
教師引導學生充分交流，熱烈討論.
【設計意圖】
隨機事在現實世界中廣泛存在.通過讓學生自己找到大量豐富多彩的實例，使學生從不同側面、不同視角進一步深化對隨機事的理解與認識.
<活動五>
【問題情境】
李寧運動品牌打出的口號是“一切皆有可能”，請你談談對這句話的理解.
【師生行為】
教師注意引導學生獨立思考,交流合作,提升學生對問題的理解與判斷能力.
【設計意圖】
有意識地引領學生從數學的角度重新審視現實世界，初步感悟辯證統一的思想.
<活動六>
【問題情境】
歸納、小結
布置作業
設計一個摸球游戲,要求對甲乙公平.
【師生行為】
學生反思、討論. 學生在設計游戲的過程中，進一步感悟隨機事的特點.作業的開放性為學生創設了更大的學習空間.
【設計意圖】
堂小結采取學生反思匯報形式,幫助學生形成較完整的認知結構.作業使堂內容得以豐富和延展.
教 學 設 計 說 明

現實生活中存在著大量的隨機事，而概率正是研究隨機事的一門學科.本是“概率初步”一的第一節.教學中，教師首先以一個學生喜聞樂見的摸球游戲為背景，通過試驗與分析，使學生體驗有些事的發生是必然的、有些是不確定的、有些是不可能的，引出必然發生的事、隨機事、不可能發生的事.然后，通過對不同事的分析判斷，讓學生進一步理解必然發生的事、隨機事、不可能發生的事的特點.結合具體問題情境，引領學生設計提出必然發生的事、隨機事、不可能發生的事，具有相當的開放度，鼓勵學生的逆向思維與創新思維，在一定程度上滿足了不同層次學生的學習需要.
做游戲是學習數學最好的方法之一，根據本節內容的特點，教師設計了摸球游戲，力求引領學生在游戲中形成新認識，學習新概念，獲得新知識，充分調動了學生學習數學的積極性，體現了學生學習的自主性.在游戲中參與數學活動，在游戲中分析、歸納、合作、思考，領悟數學道理.在快樂輕松的學習氛圍中，顯性目標和隱性目標自然達成,在一定程度上,開創了一個嶄新的數學堂教學模式.
題: 25.1.2 概率的意義
教學目標:
〈一〉知識與技能
1.知道通過大量重復試驗時的頻率可以作為事發生概率的估計值
2.在具體情境中了解概率的意義
〈二〉教學思考
讓學生經歷猜想試驗--收集數據--分析結果的探索過程，豐富對隨機現象的體驗，體會概率是描述不確定現象規律的數學模型.初步理解頻率與概率的關系.
〈三〉解決問題
在分組合作學習過程中積累數學活動經驗，發展學生合作交流的意識與能力.鍛煉質疑、獨立思考的習慣與精神，幫助學生逐步建立正確的隨機觀念.
〈四〉情感態度與價值觀
在合作探究學習過程中，激發學生學習的好奇心與求知欲.體驗數學的價值與學習的樂趣.通過概率意義教學，滲透辯證思想教育.
【教學重點】在具體情境中了解概率意義.
【教學難點】對頻率與概率關系的初步理解
【教具準備】壹元硬幣數枚、圖釘數枚、多媒體
【教學過程】
一、創設情境，引出問題
教師提出問題：周末市體育場有一場精彩的籃球比賽，老師手中只有一張球票，小強與小明都是班里的籃球迷，兩人都想去.我很為難，真不知該把球給誰.請大家幫我想個辦法決定把球票給誰.
學生：抓鬮、抽簽、猜拳、投硬幣，……
教師對同學的較好想法予以肯定.（學生肯定有許多較好的想法，在眾多方法中推舉出大家較認可的方法.如抓鬮、投硬幣）
追問，為什么要用抓鬮、投硬幣的方法呢？
由學生討論：這樣做公平.能保證小強與小明得到球票的可能性一樣大
在學生討論發言后，教師評價歸納.
用拋擲硬幣的方法分配球票是個隨機事，盡管事先不能確定“正面朝上”還上“反面朝上”，但同學們很容易感覺到或猜到這兩個隨機事發生的可能性是一樣的，各占一半，所以小強、小明得到球票的可能性一樣大.
質疑：那么，這種直覺是否真的是正確的呢？
引導學生以投擲壹元硬幣為例，不妨動手做投擲硬幣的試驗驗證一下.
說明：現實中不確定現象是大量存在的， 新標指出：“學生數學學習內容應當是現實的、有意義、富有挑戰的”，設置實際生活問題情境貼近學生的生活實際，很容易激發學生的學習熱情，教師應對此予以肯定，并鼓勵學生積極思考，為堂教學營造民主和諧的氣氛，也為下一步引導學生開展探索交流活動打下基礎.
二 、動手實踐，合作探究
1．教師布置試驗任務.
（1）明確規則.
把全班分成10組，每組中有一名學生投擲硬幣，另一名同學作記錄，其余同學觀察試驗必須在同樣條下進行.
（2）明確任務，每組擲幣50次，以實事求是的態度，認真統計“正面朝上” 的頻數及 “正面朝上”的頻率，整理試驗的數據,并記錄下..
2．教師巡視學生分組試驗情況.
注意：
（1）．觀察學生在探究活動中，是否積極參與試驗活動、是否愿意交流等，關注學生是否積極思考、勇于克服困難.
（2）．要求真實記錄試驗情況.對于合作學習中有可能產生的紀律問題予以調控.
3.各組匯報實驗結果.
由于試驗次數較少，所以有可能有些組試驗獲得的“正面朝上”的頻率與先前的猜想有出入.
提出問題：是不是我們的猜想出了問題？引導學生分析討論產生差異的原因.
在學生充分討論的基礎上，啟發學生分析討論產生差異的原因.使學生認識到每次隨機試驗的頻率具有不確定性，同時相信隨機事發生的頻率也有規律性， 引導他們小組合作，進一步探究.
解決的辦法是增加試驗的次數，鑒于堂時間有限，引導學生進行全班交流合作.
4．全班交流.
把各組測得數據一一匯報，教師將各組數據記錄在黑板上.全班同學對數據進行累計，按照書上P140要求填好25-2.并根據所整理的數據，在25.1-1圖上標注出對應的點,完成統計圖.

表25-2
拋擲次數 50100150200250300350400450500
“正面向上”的頻數
“正面向上”的頻率

想一想1（投影出示）. 觀察統計表與統計圖，你發現“正面向上”的頻率有什么規律？
注意學生的語言表述情況，意思正確予以肯定與鼓勵.“正面朝上”的頻率在0.5上下波動.
想一想2（投影出示）
隨著拋擲次數增加，“正面向上”的頻率變化趨勢有何規律？
在學生討論的基礎上，教師幫助歸納.使學生認識到每次試驗中隨機事發生的頻率具有不確定性，同時發現隨機事發生的頻率也有規律性.在試驗次數較少時，“正面朝上”的頻率起伏較大，而隨著試驗次數的逐漸增加，一般地，頻率會趨于穩定，“正面朝上”的頻率越越接近0.5. 這也與我們剛開始的猜想是一致的.我們就用0.5這個常數表示“正面向上”發生的可能性的大小.
說明：注意幫助解決學生在填寫統計表與統計圖遇到的困難.通過以上實踐探究活動，讓學生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現的規律，即大量重復試驗事發生的頻率接近事發生的可能性的大小（概率）.鼓勵學生在學習中要積極合作交流，思考探究.學會傾聽別人意見，勇于表達自己的見解.

為了給學生提供大量的、快捷的試驗數據,利用計算機模擬擲硬幣試驗的，豐富學生的體驗、提高堂教學效率，使他們能直觀地、便捷地觀察到試驗結果的規律性--大量重復試驗中，事發生的頻率逐漸穩定到某個常數附近 .
其實，歷史上有許多著名數學家也做過擲硬幣的試驗.讓學生閱讀歷史上數學家做擲幣試驗的數據統計表（看書P141表25-3）.
表25-3
試驗者拋擲次數（n）“正面朝上”次數（m）“正面向上”頻率（m/n）
棣莫弗204810610.518
布豐404020480.5069
費勒1000049790.4979
皮爾遜1200060190.5016
皮爾遜24000120120.5005

通過以上學生親自動手實踐,電腦輔助演示,歷史材料展示, 讓學生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現的規律，大量重復試驗中，事發生的頻率逐漸穩定到某個常數附近,即大量重復試驗事發生的頻率接近事發生的可能性的大小（概率）.同時,又感受到無論試驗次數多么大,也無法保證事發生的頻率充分地接近事發生的概率.
在探究學習過程中,應注意評價學生在活動中參與程度、自信心、是否愿意交流等，鼓勵學生在學習中不怕困難積極思考，敢于表達自己的觀點與感受,養成實事求是的科學態度.
5.下面我們能否研究一下“反面向上”的頻率情況？
學生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易總結得出：“反面向上”的頻率也相應穩定到0.5.
教師歸納：
（1）由以上試驗，我們驗證了開始的猜想，即拋擲一枚質地均勻的硬幣時，“正面向上”與“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是說，用拋擲硬幣的方法可以使小明與小強得到球票的可能性一樣.
（2）在實際生活還有許多這樣的例子，如在足球比賽中，裁判用擲硬幣的辦法決定雙方的比賽場地等等.
說明：這個環節，讓學生親身經歷了猜想試驗——收集數據——分析結果的探索過程，在真實數據的分析中形成數學思考，在討論交流中達成知識的主動建構，為下一環節概率意義的教學作了很好的鋪墊.
三、評價概括，揭示新知
問題1.通過以上大量試驗，你對頻率有什么新的認識？有沒有發現頻率還有其他作用？
學生探究交流.發現隨機事的可能性的大小可以用隨機事發生的頻率逐漸穩定到的值（或常數）估計或去描述.
通過猜想試驗及探究討論，學生不難有以上認識.對學生可能存在語言上、描述中的不準確等注意予以糾正，但要求不必過高.
歸納：以上我們用隨機事發生的頻率逐漸穩定到的常數刻畫了隨機事的可能性的大小.
那么我們給這樣的常數一個名稱，引入概率定義.給出概率定義（板書）：一般地，在大量重復試驗中，如果事A發生的頻率 會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事A的概率（probability）, 記作P（A）= p.
注意指出：
1．概率是隨機事發生的可能性的大小的數量反映.
2．概率是事在大量重復試驗中頻率逐漸穩定到的值，即可以用大量重復試驗中事發生的頻率去估計得到事發生的概率，但二者不能簡單地等同.
想一想(學生交流討論)
問題2．頻率與概率有什么區別與聯系?
從定義可以得到二者的聯系, 可用大量重復試驗中事發生頻率估計事發生的概率.另一方面,大量重復試驗中事發生的頻率穩定在某個常數(事發生的概率)附近，說明概率是個定值,而頻率隨不同試驗次數而有所不同,是概率的近似值,二者不能簡單地等同.
說明：猜想試驗、分析討論、合作探究的學習方式十分有益于學生對概率意義的理解，使之明確頻率與概率的聯系，也使本節教學重難點得以突破.為下節進一步研究概率和今后的學習打下了基礎. 當然，學生隨機觀念的養成是循序漸進的、長期的.這節教學應把握教學難度，注意關注學生接受情況.
四．練習鞏固，發展提高.
學生練習
1．書上P143.練習.1. 鞏固用頻率估計概率的方法.
2．書上P143.練習.2 鞏固對概率意義的理解.
教師應當關注學生對知識掌握情況，幫助學生解決遇到的問題.
五．歸納總結，交流收獲：
1．學生互相交流這節的體會與收獲，教師可將學生的總結與板書串一起，使學生對知識掌握條理化、系統化.
2．在學生交流總結時，還應注意總結評價這節所經歷的探索過程，體會到的數學價值與合作交流學習的意義.
【作業設計】
（1）完成P144 習題25.1 2、4
（2）外活動分小組活動，用試驗方法獲得圖釘從一定高度落下后釘尖著地的概率.
【教學設計說明】
這節是在學習了25.1.1節隨機事的基礎上學習的，學生通過大量重復試驗，體驗用事發生的頻率去刻畫事發生的可能性大小，從而得到概率的定義.
1．對概率意義的正確理解，是建立在學生通過大量重復試驗后，發現事發生的頻率可以刻畫隨機事發生可能性的基礎上.結合學生認知規律與教材特點，這節以用擲硬幣方法分配球票為問題情境，引導學生親身經歷猜測試驗—收集數據—分析結果的探索過程.這符合《新標》“從學生已有生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程”的理念.
貼近生活現實的問題情境，不僅易于激發學生的求知欲與探索熱情，而且會促進他們面對要解決的問題大膽猜想，主動試驗，收集數據，分析結果，為尋求問題解決主動與他人交流合作.在知識的主動建構過程中，促進了教學目標的有效達成.更重要的是，主動參與數學活動的經歷會使他們終身受益.
2．隨機現象是現實世界中普遍存在的，概率的教學的一個很重要的目標就是培養學生的隨機觀念.為了實現這一目標，教學設計中讓學生親身經歷對隨機事的探索過程，通過與他人合作探究，使學生自我主動修正錯誤經驗，揭示頻率與概率的關系，從而逐步建立正確的隨機觀念，也為以后進一步學習概率有關知識打下基礎.
3．在教學中，本力求向學生提供從事數學活動的時間與空間，為學生的自主探索與同伴的合作交流提供保障，從而促進學生學習方式的轉變，使之獲得廣泛的數學活動經驗.教師在學習活動中是組織者、引導者與合作者，應注意評價學生在活動中參與程度、自信心、是否愿意交流等，給學生以適時的引導與鼓勵.

題: 25.2 列舉法求概率
教學目標：
知識與技能目標
學習用列表法、畫樹形圖法計算概率，并通過比較概率大小作出合理的決策。
過程與方法目標
經歷實驗、列表、統計、運算、設計等活動，學生在具體情境中分析事，計算其發生的概率。滲透數形結合，分類討論，由特殊到一般的思想，提高分析問題和解決問題的能力。
情感與態度目標
通過豐富的數學活動，交流成功的經驗，體驗數學活動充滿著探索和創造，體會數學的應用價值，培養積極思維的學習習慣。
教學重點：
習運用列表法或樹形圖法計算事的概率。
教學難點：
能根據不同情況選擇恰當的方法進行列舉，解決較復雜事概率的計算問題。
教學過程
1.創設情景，發現新知
教材是通過P151—P152的例5、例6介紹列表法和樹形圖法的。
例5（教材P151）：同時擲兩個質地均勻的骰子，計算下列事的概率：
(1) 兩個骰子的點數相同；
(2) 兩個骰子的點數的和是9；
(3) 至少有一個骰子的點數為2。
這個例題難度較大，事可能出現的結果有36種。若首先就拿這個例題給學生講解，大多數學生理解起會比較困難。所以在這里，我將新的引入方式改為了一個有實際背景的轉盤游戲（前一已有例２作基礎）。
（1）創設情景
引例：為活躍聯歡晚會的氣氛，組織者設計了以下轉盤游戲：A、B兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形，轉盤A上的數字分別是1，6，8，轉盤B上的數字分別是4，5，7（兩個轉盤除表面數字不同外，其他完全相同）。每次選擇2名同學分別撥動A、B兩個轉盤上的指針，使之產生旋轉，指針停止后所指數字較大的一方為獲勝者，負者則表演一個節目（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉一次）。作為游戲者，你會選擇哪個裝置呢？并請說明理由。

【設計意圖】 選用這個引例，是基于以下考慮：以貼近學生生活的聯歡晚會為背景，創設轉盤游戲引入，能在最短時間內激發學生的興趣，引起學生高度的注意力，進入情境。
（2）學生分組討論，探索交流
在這個環節里，首先要求學生分組討論，探索交流。然后引導學生將實際問題轉化為數學問題，即：
“停止轉動后，哪個轉盤指針所指數字較大的可能性更大呢？”
由于事的隨機性，我們必須考慮事發生概率的大小。此時我首先引導學生觀看轉盤動畫，同學們會發現這個游戲涉及A、B兩轉盤， 即涉及2個因素，與前一所講授單轉盤概率問題（教材P148例2）相比，可能產生的結果數目增多了，列舉時很容易造成重復或遺漏。怎樣避免這個問題呢？
實際上，可以將這個游戲分兩步進行。 于是，指導學生構造表格
（3）指導學生構造表格
A B457
1
6
8
首先考慮轉動A盤：指針可能指向1，6，8三個數字中的任意一個，可能出現的結果就會有3個。接著考慮轉動B盤：當A盤指針指向1時，B盤指針可能指向4、5、7三個數字中的任意一個，這是列舉法的簡單情況。當A盤指針指向6或8時，B盤指針同樣可能指向4、5、7三個數字中的任意一個。一共會產生9種不同的結果。
【設計意圖】　這樣既分散了難點，又激發了學生興趣，滲透了轉化的數學思想。
（4）學生獨立填寫表格，通過觀察與計算，得出結論（即列表法）

A B457
1（1，4）（1，5）（1，7）
6（6，4）（6，5）（6，7）
8（8，4）（8，5）（8，7）
從表中可以發現：A盤數字大于B盤數字的結果共有5種。
∴P(A數較大)= , P(B數較大)= .
∴P(A數較大)＞ P(B數較大)
∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。
在學生填寫表格過程中，注意向學生強調數對的有序性。
由于游戲是分兩步進行的，我們也可用其他的方法列舉。即先轉動Ａ盤，可能出現1，6，8三種結果；第二步考慮轉動Ｂ盤，可能出現4，5，7三種結果。
（5）解法二：
　　
由圖知：可能的結果為： （1，4），（1，5），（1，7），
　　　　　　　　　　　　　　（6，4），（6，5），（6，7），
　　　　　　　　　　　　　　（8，4），（8，5），（8，7）。共計9種。
∴P(A數較大)= , P(B數較大)= .
∴P(A數較大)＞ P(B數較大)
∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。
然后，引導學生對所畫圖形進行觀察：若將圖形倒置，你會聯想到什么？這個圖形很像一棵樹，所以稱為樹形圖（在幻燈片上放映）。列表和樹形圖是列舉法求概率的兩種常用的方法。
【設計意圖】自然地學生感染了分類計數和分步計數思想。
2.自主分析，再探新知
通過引例的分析，學生對列表法和樹形圖法求概率有了初步的了解，為了幫助學生熟練掌握這兩種方法，我選用了下列兩道例題（本節教材P151—P152的例5和例6）。
例1：同時擲兩個質地均勻的骰子，計算下列事的概率：
(1) 兩個骰子的點數相同；
(2) 兩個骰子的點數的和是9；
(3) 至少有一個骰子的點數為2。
例1是教材上一道“擲骰子”的問題，有了引例作基礎，學生不難發現：引例涉及兩個轉盤，這里涉及兩個骰子，實質都是涉及兩個因素。于是，學生通過類比列出下列表。

第2個
第1個123456
1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）
6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
　由上表可以看出，同時擲兩個骰子，可能出現的結果有36個，它們出現的可能性相等。由所列表格可以發現：
（1）滿足兩個骰子的點數相同（記為事A）的結果有6個，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)= = 。
[滿足條的結果在表格的對角線上]
（2）滿足兩個骰子的點數的和是9（記為事B）的結果有4個，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)= = 。
[滿足條的結果在（3，6）和（6，3）所在的斜線上]
（3）至少有一個骰子的點數為2（記為事C）的結果有11個，所以P(C)= 。
[滿足條的結果在數字2所在行和2所在的列上]
接著，引導學生進行題后小結：
當一個事要涉及兩個因素并且可能出現的結果數目較多時，通常采用列表法。運用列表法求概率的步驟如下：
①列表 ；
②通過表格計數，確定公式P(A)= 中m和n的值；
③利用公式P(A)= 計算事的概率。
分析到這里，我會問學生：“例1題目中的“擲兩個骰子”改為“擲三個骰子”，還可以使用列表法做嗎？”由此引出下一個例題。
例2： 甲口袋中裝有2個相同的球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中3個相同的球，它們分別寫有字母C、D和E；丙口袋中2個相同的球，它們分別寫有字母H和I。從三個口袋中各隨機地取出1個球。
（1）取出的三個球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別為多少？
（2）取出的三個球上全是輔音字母的概率是多少？
例2與前面兩題比較，有所不同：要從三個袋子里摸球，即涉及到3個因素。此時同學們會發現用列表法就不太方便，可以嘗試樹形圖法。
本游戲可分三步進行。分步畫圖和分類排列相關的結論是解題的關鍵。

從圖形上可以看出所有可能出現的結果共有12個，即：

（幻燈片上用顏色區分）
這些結果出現的可能性相等。
（1）只有一個元音字母的結果（黃色）有5個，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以 ；
有兩個元音的結果（白色）有4個，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以 ；
全部為元音字母的結果（綠色）只有1個，即AEI ，所以 。
（2）全是輔音字母的結果（紅色）共有2個，即BCH，BDH，所以 。
通過例2的解答，很容易得出題后小結：
當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，通常采用“畫樹形圖”。運用樹形圖法
求概率的步驟如下：（幻燈片）
①畫樹形圖 ；
②列出結果，確定公式P(A)= 中m和n的值；
③利用公式P(A)= 計算事概率。
接著我向學生提問：到現在為止，我們所學過的用列舉法求概率分為哪幾種情況？ 列表法和畫樹形圖法求概率有什么優越性？什么時候使用“列表法”方便，什么時候使用“樹形圖法”更好呢？
【設計意圖】 通過對上述問題的思考，可以加深學生對新方法的理解，更好的認識到列表法和畫樹形圖法求概率的優越性在于能夠直觀、快捷、準確地獲取所需信息，有利于學生根據實際情況選擇正確的方法。
3.應用新知，深化拓展
為了檢驗學生對列表法和畫樹形圖法的掌握情況，提高應用所學知識解決問題的能力，在此我選擇了教材P154后練習作為隨堂練習。
（1）經過某十字路口的汽車，它可能繼續前行，也可能向左或向右，如果這三種可能性大小相同。三輛汽車經過這個十字路口，求下列事的概率：
①三輛車全部繼續前行；
②兩輛車向右轉，一輛車向左轉；
③至少有兩輛車向左轉。
[隨堂練習（1）是一道與實際生活相關的交通問題，可用樹形圖法解決。]
（2）在6張卡片上分別寫有1——6的整數，隨機地抽取一張后放回，再隨機地抽取一張，那么第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的概率是多少？
通過解答隨堂練習（2），學生會發現列出的表格和例1的表格完全一樣。不同的是：變換了實際背景，設置的問題也不一樣。這時，我提出：我們是否可以根據這個表格再編一道用列舉法求概率的題目呢？
為了進一步拓展思維，我向學生提出了這樣一個問題，供學生后思考：
在前面的引例中，轉盤的游戲規則是不公平的，你能把它改成一個公平的游戲嗎？
【設計意圖】 以上問題的提出和解決有利于學生發現數學問題的本質，做到舉一反三，融會貫通。
4.歸納總結，形成能力
我將引導學生從知識、方法、情感三方面談一談這節的收獲。要求每個學生在組內交流，派小組代表發言。
【設計意圖】 通過這個環節，可以提高學生概括能力、表達能力，有助于學生全面地了解自己的學習過程，感受自己的成長與進步，增強自信，也為教師全面了解學生的學習狀況、因材施教提供了重要依據。
5.布置作業，鞏固提高
考慮到學生的個體差異，為促使每一個學生得到不同的發展，同時促進學生對自己的學習進行反思，在第五個環節“布置作業，鞏固提高”里作如下安排：
（1）必做題：書本P154/ 3，P155/ 4，5
（2）選做題：
①請設計一個游戲，并用列舉法計算游戲者獲勝的概率。
②研究性題：通過調查學校周圍道路的交通狀況，為交通部門提出合理的建議等。
【設計意圖】 通過教學實踐作業和社會實踐活動，引導學生靈活運用所學知識，讓學生把動腦、動口、動手三者結合起，啟發學生的創造性思維，培養協作精神和科學的態度。
25．3 利用頻率估計概率
疑難分析：
1．當試驗的可能結果不是有限個，或各種結果發生的可能性不相等時，一般用統計頻率的方法估計概率．
2．利用頻率估計概率的數學依據是大數定律：當試驗次數很大時，隨機事A出現的頻率，穩定地在某個數值P附近擺動．這個穩定值P，叫做隨機事A的概率，并記為P(A)=P．
3．利用頻率估計出的概率是近似值.
例題選講
例1 某籃球運動員在最近的幾場大賽中罰球投籃的結果如下：
投籃次數n8101291610
進球次數m6897127
進球頻率

　　(1)計算表中各次比賽進球的頻率；
　　(2)這位運動員投籃一次，進球的概率約為多少？
解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；
（2）0.75．
評注：本題中將同一運動員在不同比賽中的投籃視為同等條下的重復試驗，所求出的概率只是近似值．
例2 某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤(如圖)，并規定：顧客購物10元以上能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區域就可以獲得相應的獎品，下表是活動進行中的一組統計數據：
(1) 計算并完成表格：
轉動轉盤的次數n1001502005008001000
落在“鉛筆”的次數m68111136345546701
落在“鉛筆”的頻率

(2) 請估計，當 很大時，頻率將會接近多少？
(3) 轉動該轉盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少？
(4) 在該轉盤中，標有“鉛筆”區域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到1°)
解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；
（2）0.69；
（3）0.69；
（4）0.69×360°≈248°．
評注：（1）試驗的次數越多，所得的頻率越能反映概率的大小；（2）頻數分布表、扇形圖、條形圖、直方圖都能較好地反映頻數、頻率的分布情況，我們可以利用它們所提供的信息估計概率．
基礎訓練
一、選一選（請將唯一正確答案的代號填入題后的括號內）
1．盒子中有白色乒乓球8個和黃色乒乓球若干個，為求得盒中黃色乒乓球的個數，某同學進行了如下實驗：每次摸出一個乒乓球記下它的顏色，如此重復360次，摸出白色乒乓球90次，則黃色乒乓球的個數估計為 ( ) 新標第一網
A．90個 B．24個 C．70個 D．32個
2．從生產的一批螺釘中抽取1000個進行質量檢查，結果發現有5個是次品，那么從中任取1個是次品概率約為（ ）．
A． B． C． D．
3．下列說法正確的是( )．
A．拋一枚硬幣正面朝上的機會與拋一枚圖釘釘尖著地的機會一樣大；
B．為了解漢口火車站某一天中通過的列車車輛數，可采用全面調查的方式進行；
C．彩票中獎的機會是1％，買100張一定會中獎；
D．中學生小亮，對他所在的那棟住宅樓的家庭進行調查，發現擁有空調的家庭占100％，于是他得出全市擁有空調家庭的百分比為100％的結論．
4．小亮把全班50名同學的期中數學測試成績，繪成如圖所示的條形圖，其中從左起第一、二、三、四個小長方形高的比是1∶3∶5∶1．從中同時抽一份最低分數段和一份最高分數段的成績的概率分別是（ ）．
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
5．某人把50粒黃豆染色后與一袋黃豆充分混勻，接著抓出100黃豆，數出其中有10粒黃豆被染色，則這袋黃豆原有（ ）．
A．10粒 B．160粒 C．450粒 D．500粒
6．某校男生中，若隨機抽取若干名同學做“是否喜歡足球”的問卷調查，抽到喜歡足球的同學的概率是 ，這個 的含義是（ ）．
A．只發出5份調查卷，其中三份是喜歡足球的答卷；
B．在答卷中，喜歡足球的答卷與總問卷的比為3∶8；
C．在答卷中，喜歡足球的答卷占總答卷的 ；
D．在答卷中，每抽出100份問卷，恰有60份答卷是不喜歡足球．
7．要在一只口袋中裝入若干個形狀與大小都完全相同的球，使得從袋中摸到紅球的概率為 ，四位同學分別采用了下列裝法，你認為他們中裝錯的是（ ）．
A．口袋中裝入10個小球，其中只有兩個紅球；
B．裝入1個紅球，1個白球，1個黃球，1個藍球，1個黑球；
C．裝入紅球5個，白球13個，黑球2個；
D．裝入紅球7個，白球13個，黑球2個，黃球13個．
8．某學生調查了同班同學身上的零用錢數，將每位同學的零用錢數記錄了下（單位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.
假如老師隨機問一個同學的零用錢，老師最有可能得到的回答是（ ）．
A． 2元 B．5元 C．6元 D．0元
二、填一填
9． 同時拋擲兩枚硬幣，按照正面出現的次數，可以分為“2個正面”、“1個正面”和“沒有正面”這3種可能的結果，小紅與小明兩人共做了6組實驗，每組實驗都為同時拋擲兩枚硬幣10次，下表為實驗記錄的統計表：
結果第一組第二組第三組第四組第五組第六組
兩個正面335142
一個正面655557
沒有正面120411
由上表結果，計算得出現“2個正面”、“1個正面”和“沒有正面”這3種結果的頻率分別是___________________．當試驗組數增加到很大時，請你對這三種結果的可能性的大小作出預測：______________．
10．紅星養豬場400頭豬的質量(質量均為整數千克)頻率分布如下，其中數據不在分點上
組別頻數頻率
46 ~ 5040
51 ~ 5580
56 ~ 60160
61 ~ 6580
66 ~ 7030
71~ 7510
從中任選一頭豬，質量在65kg以上的概率是_____________．
11．為配和新程的實施，某市舉行了“應用與創新”知識競賽，共有1萬名學生參加了這次競賽（滿分100分，得分全為整數）。為了解本次競賽成績情況，從中隨機抽取了部分學生的競賽成績，進行統計，整理見下表：
組別分 組頻 數頻率
149.5～59.5600.12
259.5～69.51200.24
369.5～79.51800.36
479.5～89.5130c
589.5～99.5b0.02
合 計a1.00
表中a=________,b=________, c＝_______；若成績在90分以上（含90分）的學生獲一等獎，估計全市獲一等獎的人數為___________．
三、做一做
12．小穎有20張大小相同的卡片，上面寫有1~20這20個數字，她把卡片放在一個盒子中攪勻，每次從盒中抽出一張卡片，記錄結果如下：
實驗次數20406080100120140160180200
3的倍數的頻數5131726323639495561
3的倍數的頻率
（1）完成上表；
（2）頻率隨著實驗次數的增加，穩定于什么值左右？
（3）從試驗數據看，從盒中摸出一張卡片是3的倍數的概率估計是多少？
（4）根據推理計算可知，從盒中摸出一張卡片是3的倍數的概率應該是多少？

13．甲、乙兩同學開展“投球進筐”比賽，雙方約定：① 比賽分6局進行，每局在指定區域內將球投向筐中，只要投進一次后該局便結束；② 若一次未進可再投第二次，以此類推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未進，該局也結束；③ 計分規則如下：a. 得分為正數或0；b. 若8次都未投進，該局得分為0；c. 投球次數越多，得分越低；d.6局比賽的總得分高者獲勝 .
(1) 設某局比賽第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次將球投進，請你按上述約定，用公式、表格或語言敘述等方式，為甲、乙兩位同學制定一個把n換算為得分的計分方案；
(2) 若兩人6局比賽的投球情況如下(其中的數字表示該局比賽進球時的投球次數，“×”表示該局比賽8次投球都未進)：
第一局第二局第三局第四局第五局第六局
甲5×4813
乙82426×
根據上述計分規則和你制定的計分方案，確定兩人誰在這次比賽中獲勝.

四、試一試
16．理論上講，兩個隨機正整數互質的概率為P= ．請你和你班上的同學合作，每人隨機寫出若干對正整數（或自己利用計算器產生），共得到n對正整數，找出其中互質的對數m，計算兩個隨機正整數互質的概率，利用上面的等式估算 的近似值．

解答
一、
1．D2．B3．B 4．A5．C6．C 7．C8．B
二、
9． ； 10. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1
11．50,10,0.26；200
三、

12．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；
（2）0.31；
（3）0.31；
（4）0.3

　　　
13．解：(1)計分方案如下表：
n(次)12345678
(分)87654321
(用公式或語言表述正確，同樣給分.)
(2) 根據以上方案計算得6局比賽，甲共得24分，乙共得分23分，所以甲在這次比賽中獲勝．
四、
14. 略

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