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初中數學專項訓練：全等三角形
一、
1．如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結論不一定成立的是

A．AB=AD B．AC平分∠BCD
C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
2．如圖，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是

A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
3．如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB= ，CP ，CP∥OA，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E．如果點是OP的中點，則D的長是

A． B． C． D．
4．如圖，在四邊形 中，對角線AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點O，則圖中全等三角形共有【 】

A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
5．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E在BC上，連接AD、AE，如果只添加一個條件使∠DAB=∠EAC，則添加的條件不能為【 】

A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
6．如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是

A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
7．如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為1 , l2，l3之間的距離為2 ,則AC的長是（ ）

A． B． C． D．7

二、題
8．如圖，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC與BD相交于點O，請寫出圖中一組相等的線段　　　　．

9．如圖，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　 　。

10．如圖，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，則應添加的一個條件為　 　．（答案不唯一，只需填一個）

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長是 ．

12．如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為　 　．

13．如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF = CE，AC∥DF，請添加一個條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是 ．（只需寫一個，不添加輔助線）

14．如圖，點O是△ABC的兩條角平分線的交點，若∠BOC＝118°，則∠A的大小是　 　。

15．如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應添加的條件是　 　（添加一個條件即可）．

16．如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是　 　（只寫一個條件即可）．

17．（2013年浙江義烏4分）如圖，已知∠B=∠C．添加一個條件使△ABD≌△ACE（不標注新的字母，不添加新的線段），你添加的條件是 ；

18．如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，BE=CF，請添加一個條件　 　，使△ABC≌△DEF．

19．如圖，△ABC和△FPQ均是等邊三角形，點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，點P在AB邊上，連接EF、QE．若AB=6，PB=1，則QE=　 　．

20．如圖，△ABC≌△DEF，請根據圖中提供的信息，寫出x=　 　．

21．如圖，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O點，則∠BOC=__________．

22．如圖,四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90⩝，AB=AD，AE⊥BC于E，若線段AE=5，則S四邊形ABCD＝　　　　　。

三、解答題
23．已知：如圖，AD，BC相交于點O，OA=OD，AB∥CD．
求證：AB=CD．

24．如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求證：BC=DC．

25．課本指出：公認的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題(如推論、定理等)的正確性都需要通過推理的方法證實．
（1）敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS；
（2）證明推論AAS．
要求：敘述推論用文字表達；用圖形中的符號表達已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明依據．

26．如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC．

（1）求證：△ABE≌DCE；
（2）當∠AEB=50°，求∠EBC的度數。
27．已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．求證：BD=AE．

28．如圖， 與 關于O點中心對稱，點E、F在線段AC上，且AF=CE。
求證：FD=BE。

29．如圖，已知線段AB。

（1）用尺規作圖的方法作出線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）；
（2）在（1）中所作的直線l上任意取兩點、N（線段AB的上方），連接A、AN。B、BN。
求證：∠AN=∠BN。
30．如圖，兩條公路OA和OB相交于O點，在∠AOB的內部有工廠C和D，現要修建
一個貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規作出貨站P的位置．（要
求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結論.）

31．兩個城鎮A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在C處修建一座信號反射塔，要求發射塔到兩個城鎮A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點C應選在何處？請在圖中，用尺規作圖找出所有符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）

32．如圖，C是AB的中點，AD=BE，CD=CE．
求證：∠A=∠B．

33．如圖，在△ABC中，∠ACB=900， ∠B＞∠A，點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，CF∥AB交DE的延長線于點F．

（1）求證：DE=EF；
（2）連接CD，過點D作DC的垂線交CF的延長線于點G，求證：∠B=∠A＋∠DGC．
34．如圖：已知D、E分別在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BE=CD．

35．如圖，∠AOB=90°，OA=0B，直線 經過點O,分別過A、B兩點作AC⊥ 交 于點C，BD⊥ 交 于點D.
求證：AD=OD.

36．已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點．

（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是　 　，QE與QF的數量關系式　 　；
（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；
（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．
37．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，
求證：AC=DF．

38．如圖，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求證：DE=AB．

39．如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點，BC與ED，AD分別交于點F，N．請寫出圖中兩對全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對加以證明．

40．如圖，是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，延長BN交AC于點D，已知AB=10，BC=15，N=3

（1）求證：BN=DN；
（2）求△ABC的周長．
41．如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，連結BE．請找出一對全等三角形，并說明理由．

42．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D
在同一條直線上．求證：BD=CE．

43．如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求證：△ABC≌△AED．

44．如圖，把一個直角三角形ACB（∠ACB=90°）繞著頂點B順時針旋轉60°，使得點C旋轉到AB邊上的一點D，點A旋轉到點E的位置．F，G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交于點H．

（1）求證：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度數．
45．已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，點E在AC邊的延長線上，且∠DEC=45°，點、N分別是DE、AE的中點，連接N交直線BE于點F．當點D在CB邊上時，如圖1所示，易證F+FN= BE

（1）當點D在CB邊上時，如圖2所示，上述結論是否成立？若成立，請給與證明；若不成立，請寫出你的猜想，并說明理由．
（2）當點D在BC邊的延長線上時，如圖3所示，請直接寫出你的結論．（不需要證明）
46．如圖，點B在AE上，點D在AC上，AB=AD．請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個）．
（1）你添加的條件是　 　．
（2）添加條件后，請說明△ABC≌△ADE的理由．

47．如圖，AD=BC，AC=BD，求證：△EAB是等腰三角形．

48．我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等. 那么在什么情況下，它們會全等?
（1）與證明：
對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等.
對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（證明略）.
對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.
求證：△ABC≌△A1B1C1. （請你將下列證明過程補充完整）
證明：分別過點B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.
則∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，
∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD＝B1D1.
______________________________。
（2）歸納與敘述：
由（1）可得到一個正確結論，請你寫出這個結論.

49．有一塊不規則的魚池，下面是兩位同學分別設計的能夠粗略地測量出魚池兩端A、B的距離的方案，請你分析一下兩種方案的理由.
方案一：小明想出了這樣一個方法，如圖①所示，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，測得DE的長就是AB的長. 你能說明一下這是為什么嗎？
方案二：小軍想出了這樣一個方法，如圖②所示，先在平地上取一個可以直接到達魚池兩端A、B的點C，連結AC并延長到點D，使CD＝CA，連結BC并延長到E，使CE＝CB，連結DE，量出DE的長，這個長就是A、B之間的距離. 你能說明一下這是為什么嗎？

50．N、PQ是校園里的兩條互相垂直的小路，小強和小明分別站在距交叉口C等距離的B、E兩處，這時他們分別從B、E兩點按同一速度沿直線行走，如圖所示，經過一段時間后，同時到達A、D兩點，他們的行走路線AB、DE平行嗎？請說明你的理由.

初中數學專項訓練：全等三角形參考答案
1．C
【解析】
試題分析：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，BE=DE。∴∠BCE=∠DCE。
在Rt△BCE和Rt△DCE中，∵BE=DE，BC=DC，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）。
∴選項ABD都一定成立。故選C。
2．C
【解析】
試題分析：根據全等三角形的判定方法分別進行判定：
A、已知AB=DE，加上條件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意；
B、已知AB=DE，加上條件BC=EC，AC=DC可利用SSS證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意；
C、已知AB=DE，加上條件BC=DC，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEC，故此選項符合題意；
D、已知AB=DE，加上條件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意。
故選C。
3．C
【解析】
試題分析：∵OP平分∠AOB，∠AOB= ，∴∠AOP=∠POB= 。
∵CP∥OA，∴∠OPC=∠AOP= 。
又∵PE⊥OB，∴∠OPE= 。∴∠CPE=∠OPC= 。
∵CP=2，∴PE= 。
又∵PD⊥OA，∴PD= PE= 。∴OP= 。
又∵點是OP的中點，∴D= OP= 。
故選C。
4．C。
【解析】∵AB=AD，CB=CD，AC公用，∴△ABC≌△ADC（SSS）。
∴ BAO= DAO， BCO= DCO。
∴△BAO≌△DAO（SAS），△BCO≌△DCO（SAS）。
∴全等三角形共有3對。故選C。
5．C。
【解析】根據全等三角形的判定與性質，等邊對等角的性質對各選項解析判斷后利用排除法求解：
A、添加BD=CE，可以利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，再根據全等三角形對應角相等得到∠DAB=∠EAC，故本選項錯誤；
B、添加AD=AE，根據等邊對等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠DAB=∠EAC，故本選項錯誤；
C、添加DA=DE無法求出∠DAB=∠EAC，故本選項正確；
D、添加BE=CD可以利用“邊角邊”證明△ABE和△ACD全等，再根據全等三角形對應角相等得到∠DAB=∠EAC，故本選項錯誤。
故選C。
6．B
【解析】
試題分析：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF。∴AF=CE。
A．∵在△ADF和△CBE中， ，∴△ADF≌△CBE（ASA），正確，故本選項錯誤。
B．根據AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，錯誤，故本選項正確。
C．∵在△ADF和△CBE中， ，∴△ADF≌△CBE（SAS），正確，故本選項錯誤。
D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C。由A選項可知，△ADF≌△CBE（ASA），正確，故本選項錯誤。
故選B。
7．A
【解析】本題考查的是兩平行線間的距離
過A作AE⊥ 于E，過C作CF⊥ 于F，求出∠AEB=∠CFB，∠EAB=∠CBF，根據AAS證△AEB≌△BFC，推出AE=BF=2，BE=CF=3，由勾股定理求出AB和BC，再由勾股定理求出AC即可．
過A作AE⊥ 于E，過C作CF⊥ 于F，

則∠AEF=∠CFB=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，
∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∵在△AEB和△BFC中

∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF=2，BE=CF=2+1=3，
由勾股定理得： ，
由勾股定理得： ，
故選A.
8．AC=BD（答案不唯一）
【解析】
試題分析：利用“角角邊”證明△ABC和△BAD全等，再根據全等三角形對應邊相等解答即可：
∵在△ABC和△BAD中， ，
∴△ABC≌△BAD（AAS）。
∴AC=BD，AD=BC。
由此還可推出：OD=OC，AO=BO等（答案不唯一）。
9． 。
【解析】如圖，過點D作DE⊥BC于點E，則

∵∠A=Rt∠，BD是∠ABC的平分線，AD=3，
∴根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，得DE=3。
又∵BC=10，∴△BDC的面積是 。
10．AC=CD（答案不唯一）。
【解析】∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE。
又∵BC=EC，
∴根據全等三角形的判定，若添加條件：AC=CD，則由SAS可判定△ABC≌△DEC；若添加條件：∠B=∠E，則由ASA可判定△ABC≌△DEC；若添加條件：∠A=∠D，則由AAS可判定△ABC≌△DEC。答案不唯一。
11．2
【解析】∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°。
∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）。
又AB的垂直平分線DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°。
∴Rt△DBE中，BE=2DE=2。
12．
【解析】
試題分析：如圖，延長CF交AB于點G，

∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，
∴△AFG≌△AFC（ASA）。∴AC=AG，GF=CF。
又∵點D是BC中點，∴DF是△CBG的中位線。
∴DF= BG= （AB?AG）= （AB?AC）= 。
13．AC=DF（答案不唯一）
【解析】
試題分析：由BF = CE，根據等量加等量，和相等，得BF＋FC = CE＋FC，即BC=EF；由AC∥DF，根據平行線的內錯角相等的性質，得∠ACB=∠DFE，△ABC和△DEF中有一角一邊對應相等，
∴根據全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF。
14．56°
【解析】
試題分析：∵∠BOC＝118°，∴∠OBC+∠OCB=62°。
又∵點O是△ABC的兩條角平分線的交點，∴∠ABC+∠ACB=124°。
∴∠A=56°。
15．AE=AD（答案不唯一）。
【解析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，則可以添加AE=AD，利用SAS來判定其全等；或添加∠B=∠C，利用ASA來判定其全等；或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS來判定其全等。等（答案不唯一）。
16．∠B=∠C（答案不唯一）。
【解析】由題意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可選擇利用AAS、SAS、ASA進行全等的判定，答案不唯一：
添加，可由AAS判定△ABE≌△ACD；
添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD；
添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB，可由ASA判定△ABE≌△ACD。　
17．AB=AC（答案不唯一）。
【解析】已知∠B=∠C．加上公共角∠A=∠A．要使△ABD≌△ACE，只要添加一條對應邊相等即可。故可添加
AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等，答案不唯一。
考點：開放型，全等三角形的判定。
18．AB=DE（答案不唯一）
【解析】
試題分析：可選擇利用AAS或SAS進行全等的判定，答案不唯一，寫出一個符合條件的即可：
∵BE=CF，∴BC=EF。
∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF。
∴在△ABC和△DEF中，已有一邊一角對應相等。
∴添加AB=DE，可由SAS證明△ABC≌△DEF；添加∠BCA=∠F，可由ASA證明△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS證明△ABC≌△DEF；等等。
19．2
【解析】
試題分析：如圖，連接FD，

∵△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=6，∠A=60°。
∵點D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點，AB=6，PB=1，
∴AD=BD=AF=3，DP=DB?PB=3?1=2，EF為△ABC的中位線。
∴EF∥AB，EF= AB=3，△ADF為等邊三角形。∴∠FDA=60°，∴∠1+∠3=60°。
∵△PQF為等邊三角形，∴∠2+∠3=60°，FP=FQ。∴∠1=∠2。
∵在△FDP和△FEQ中，FP=FQ，∠1=∠2，FD=FE，∴△FDP≌△FEQ（SAS）。∴DF=QE。
∵DF=2，∴QE=2。　
20．20
【解析】
試題分析：如圖，∠A=180°?50°?60°=70°，
∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20。
21．120°
【解析】本題主要考查全等三角形的判定(SAS)與性質:全等三角形的對應角相等.
∵△ABD、△ACE都是正三角形
∴AD=AB,AC=AE ∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE(SAS)
∴∠ADC=∠ABE
∴∠DAB=∠BOD=60°∠BOC=180-∠BOD=60°
22．25
【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質. 過A點作AF⊥CD交CD的延長線于F點，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90°可得四邊形AECF為矩形，則∠2+∠3=90°，而∠BAD=90°，根據等角的余角相等得∠1=∠2，加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD，根據全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性質有AE=AF=5，S△ABE=S△ADF，則S四邊形ABCD=S正方形AECF，然后根據正方形的面積公式計算即可．
解：過A點作AF⊥CD交CD的延長線于F點，如圖，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
而∠C=90°，
∴四邊形AECF為矩形，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ADF中
∠1=∠2，∠AEB=∠AFD，AB=AD
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=5，S△ABE=S△ADF，
∴四邊形AECF是邊長為5的正方形，
∴S四邊形ABCD=S正方形AECF=52=25．
故答案為25．
23．證明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D。
∵在△AOB和△DOC中，∠B=∠C，OA=OD，∠A=∠D，
∴△AOB≌△DOC（SSA）。
∴AB=CD。
【解析】
試題分析：首先根據AB∥CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，結合OA=OD，可證明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD。
24．證明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD。
在△ABC和△EDC中，
∵ ，
∴△ABC≌△EDC（ASA）。∴BC=DC
【解析】
試題分析：先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角邊角”證明△ABC和△EDC全等，然后根據全等三角形對應邊相等證明即可。
25．解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等。
（2）已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF。
求證：△ABC≌△DEF。
證明：如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），
∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代換）。
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內角和定理），
∴∠B=∠E。
∴在△ABC與△DEF中， 。
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
【解析】
試題分析：（1）兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等。
（2）根據三角形內角和定理和全等三角形的判斷定理ASA來證明。
26．解（1）證明：∵在△ABE和△DCE中， ，
∴△ABE≌△DCE（AAS）。
（2）∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC。
∴∠EBC=∠ECB。
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°。
【解析】（1）根據AAS即可推出△ABE和△DCE全等。
（2）根據三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根據三角形的外角性質得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可。
27．證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE。
∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS）。
∴BD=AE。
【解析】根據等腰直角三角形的性質可得AC=BC，CD=CE，再根據同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“SAS”證明△ACE和△BCD全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可證明。
28．證明：∵△ABO與△CDO關于O點中心對稱，∴OB=OD，OA=OC。
∵AF=CE，∴OF=OE。
∵在△DOF和△BOE中， ，
∴△DOF≌△BOE（SAS）。∴FD=BE。
【解析】根據中心對稱得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根據SAS推出△DOF≌△BOE即可。
29．解：（1）作圖如下：

（2）證明：根據題意作出圖形如圖，

∵點、N在線段AB的垂直平分線l上，
∴A=B，AN=BN。
又 ∵N=N，∴△AN≌△BN（SSS）。
∴∠AN=∠BN。
【解析】（1）根據線段垂直平分線的性質作圖。
（2）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質，可得A=B，AN=BN。N是公共邊，從而SSS可證得△AN≌△BN，進而得到∠AN=∠BN的結論。
30．解：如圖所示：作CD的垂直平分線，∠AOB的角平分線的交點P即為所求。

【解析】根據點P到∠AOB兩邊距離相等，到點C、D的距離也相等，點P既在∠AOB的角平分線上，又在CD垂直平分線上，即∠AOB的角平分線和CD垂直平分線的交點處即為點P。
31．解：作出線段AB的垂直平分線；作出l1 l2和夾角的角的平分線。它們的交點即為所求作的點C（2個）。

【解析】到城鎮A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點即為所求作的點C。由于兩條公路所夾角的角平分線有兩條，因此點C有2個。
32．證明：∵C是AB的中點，∴AC=BC。
在△ACD和△BCE中，∵AD=BE，CD=CE．AC=BC，
∴△ACD≌△BCE（SSS）。
∴∠A=∠B。
【解析】
試題分析：根據中點定義求出AC=BC，然后利用“SSS”證明△ACD和△BCE全等，再根據全等三角形對應角相等證明即可。
33．證明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=900，點D為邊AB的中點，
∴DC=DA（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）。
∵DE∥BC，∴AE=CE（平行線等分線段的性質），∠A=∠FCE（平行線的內錯角相等）。
又∵∠AED=∠CEF（對頂角相等），∴△AED≌△CEF（ASA）。
∴DE=EF（全等三角形對應邊相等）。
（2）如圖，∵在△ABC中，∠ACB=900，點D為邊AB的中點，
∴DC=DB（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）。
∴∠B=∠4（等邊對等角）。
又∵DE∥BC，∴∠4=∠3，∠B=∠ADE。
∵DG⊥DC，∴∠2＋∠3=900，即∠2＋∠D=900。
∵∠ACB=900，∴∠A＋∠D=900。∴∠2=∠A。
∵CF∥AB，∴∠DGC=∠1。
∴∠B=∠ADE=∠2＋∠1=∠A＋∠DGC。
【解析】
試題分析：（1）通過由ASA證明△AED≌△CEF得出結論。
（2）如圖，經過轉換，將∠B轉換成∠ADE，從而通過證明∠DGC=∠1和∠2=∠A得出結論。
34．證明：在△ABE和△ACD中，
∵ ，∴△ABE≌△ACD（AAS）。
∴BE=CD（全等三角形的對應邊相等）。
【解析】要證明BE=CD，把BE與CD分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，而證明兩三角形全等需要三個條件，題中已知一對邊和一對角對應相等，觀察圖形可得出一對公共角，進而利用AAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等，利用全等三角形的對應邊相等可得證。
35．證明： ∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°。
∵AC⊥ ，BD⊥ ， ∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠A+∠AOC=90°。∴∠A=∠BOD。
又∵OA=OB ， ∴△AOC≌△OBD（AAS）。
∴AC=OD。
【解析】由AAS證明△AOC≌△OBD即可得到AC=OD。
36．解：（1）AE∥BF，QE=QF。
（2）QE=QF，證明如下：
如圖，延長FQ交AE于D，

∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。
在△FBQ和△DAQ中，∵ ，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。
∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線。
∴QE=QF=QD，即QE=QF。
（3）（2）中的結論仍然成立。證明如下：
如圖，延長EQ、FB交于D，

∵AE∥BF，∴∠1=∠D。
在△AQE和△BQD中， ，
∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。
∵BF⊥CP，∴FQ是斜邊DE上的中線。∴QE=QF。
【解析】（1）證△BFQ≌△AEQ即可。理由是：
如圖，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ。
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ。
在△BFQ和△AEQ中， ，∴△BFQ≌△AEQ（AAS）。∴QE=QF。
（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可。
（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可。
37．證明：∵AB∥ED，∴∠B=∠E。
∵AC∥FD，∴∠ACB=∠DFE。
∵FB=CE，∴BC=EF。
∴△ABC≌△DEF（ASA）。∴AC=DF。
【解析】由已知和平行線的性質易根據ASA證明△ABC≌△DEF，從而根據全等三角形對應邊相等的性質得出結論。
38．證明：∵∠1=∠2，∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE。
在△ABC和△DEC中，∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，BC=EC，
∴△ABC≌△DEC（SAS）。∴DE=AB。
【解析】
試題分析：由已知證得∠ACB=∠DCE，從而根據三角形全等SAS的判定，證明△ABC≌△DEC，繼而可得出結論。
39．解：△AE≌△ACN，△BF≌△DNF，△ABN≌△AD。
選擇△AE≌△ACN證明如下：
∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB。∴∠EA=∠CAN。
∵在△AE和△ACN中，∠E=∠C，AE=AC，∠EA=∠CAN，
∴△AE≌△CAN（ASA）。
【解析】
試題分析：找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫出來，選擇一組證明即可。　
40．解：（1）證明：在△ABN和△ADN中，∵ ，
∴△ABN≌△ADN（ASA）。
∴BN=DN。
（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB。
又∵點是BC中點，∴N是△BDC的中位線。
∴CD=2N=6。
∴△ABC的周長=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41。
【解析】（1）證明△ABN≌△ADN，即可得出結論。
（2）先判斷N是△BDC的中位線，從而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，從而計算周長即可。　
41．解：△ACE≌△BCD。理由如下：
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠ACB=90°。
∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角）。
在△ACE和△BCD中，∵CE=CD，∠ACE=∠BCD，CA=CB，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
【解析】
試題分析：根據等角的余角相等可得出∠ACE=∠BCD，結合CA=CB，CD=CE，可證明△ACE≌△BCD。　
42．證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC。
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC。
∵在△ADB和△AEC中， ，
∴△ADB≌△AEC（SAS）。∴BD=CE。
【解析】
試題分析：求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根據SAS證出△ADB≌△AEC即可。　
43．證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD。
∵在△ABC和△AED中，∠C=∠D，∠BAC=∠EAD，AB=AE，
∴△ABC≌△AED（AAS）。
【解析】
試題分析：根據∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上條件AB=AE，∠C=∠D可證明△ABC≌△AED。　
44．解：（1）證明：∵在△CBF和△DBG中， ，
∴△CBF≌△DBG（SAS）。
∴CF=DG。
（2）∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG。
又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°。
∴∠FHG=180°?∠DHF=180°?60°=120°。
【解析】
試題分析：（1）在△CBF和△DBG中，根據SAS即可證得兩個三角形全等，根據全等三角形的對應邊相等即可證得。
（2）根據全等三角形的對應角相等，即可證得∠DHF=∠CBF=60°，從而求解。　
45．（1）不成立。猜想：FN?F= BE。理由見解析
（2）F?FN= BE。
【解析】
試題分析：（1）對結論作出否定，猜想FN?F= BE，連接AD，根據、N分別是DE、AE的中點，可得N= AD，再根據題干條件證明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，結合N=FN?F，于是證明出猜想。
（1）不成立。猜想：FN?F= BE。理由如下：
如圖，連接AD，.

∵、N分別是DE、AE的中點，∴N= AD。
∵在△ACD與△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）。∴AD=BE。
∵N=FN?F，∴FN?F= BE。
（2）結論：F?FN= BE，證明如下：
連接AD，

∵、N分別是DE、AE的中點，∴N= AD。
∵在△ACD與△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）。∴AD=BE。∴N= BE。
∵N=F?FN，∴F?FN= BE。
46．解：（1）∠C=∠E。
（2）選∠C=∠E為條件，理由如下：
在△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠C=∠E，AB=AD，∴△ABC≌△ADE（AAS）。
【解析】
試題分析：（1）可以根據全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件：
∵AB=AD，∠A=∠A，
∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，
若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，
若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC。
綜上所述，可以添加的條件為∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）。
（2）根據全等三角形的判定方法證明即可．
47．證明：在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA=∠CAB．
∴AE=BE．
∴△EAB是等腰三角形．04869

【解析】先用SSS證△ADB≌△BCA，得到∠DBA=∠CAB，利用等角對等邊知AE=BE，從而證得△EAB是等腰三角形．

48．見解析
【解析】考查三角形全等的判定
本題考查的是全等三角形的判定，首先易證得△ADB≌△A1B1C1然后易證出△ABC≌△A1B1C1．
又∵AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90°，
∴△ADB≌△A1D1B1，
∴∠A＝∠A1，
又∵∠C＝∠C1，BC＝B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1
若△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形或均為直角三角形或均為鈍角三角形，
AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1，
則△ABC≌△A1B1C1.
49．見解析
【解析】本題考查的是全等三角形的應用
方案一、由AB⊥BF，DE⊥BF可得∠ABC＝∠EDC，再有∠ACB＝∠ECD且BC＝DC根據“ASA”證得△ABC≌△EDC即可得到結論；
方案二、由CD＝CA，∠ACB＝∠DCE（對頂角相等），CE＝BC，根據“SAS”證得△ABC≌△EDC即可得到結論；
小明的做法有道理，其理由如下：
因為AB⊥BF，DE⊥BF，
所以∠ABC＝∠EDC，
又因為A、C、E三點在同一條直線上，
所以∠ACB＝∠ECD，且BC＝DC，
所以△ABC≌△EDC（ASA），
所以AB＝DE（全等三角形的對應邊相等）.
小軍的做法有道理，其理由如下：
因為在△ABC和△DCE中，
CD＝CA，∠ACB＝∠DCE（對頂角相等），CE＝BC，
所以△ABC≌△DEC（SAS），
所以AB＝DE（全等三角形的對應邊相等）.
50．平行
【解析】本題考查的是全等三角形的應用
由已知條件得，AB＝DE，BC＝CE，則可根據“HL”證得Rt△ABC≌Rt△DCE，即可得到結論。
平行. 理由如下：
由已知條件得，AB＝DE，BC＝CE，
在Rt△ABC和Rt△DCE中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL），
∴∠ABC＝∠DEC，
∴AB∥DE.