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廣西南寧市中考2013年數學試卷
一、（本大題共12小題，每小題3分，共36分）每小題都給出代號（A）、（B）、（C）、（D）四個結論，其中只有一個是正確的，請考上用2B鉛筆在答題卡上將選定答案標號涂黑．
1．（3分）（2013•南寧）在?2，1，5，0這四個數中，最大的數是（　　）
　A．?3B．1C．5D．0

考點：有理數大小比較．
分析：根據有理數大小比較的法則：①正數都大于0； ②負數都小于0；③正數大于一切負數進行比較即可．
解答：解：在?2，1，5，0這四個數中，
大小順序為：?2＜0＜1＜5，
所以最大的數是5．
故選C．
點評：本題主要考查了有理數的大小的比較，解題的關鍵利用熟練掌握有理數的大小比較法則，屬于基礎題．
　
2．（3分）（2013•南寧）如圖所示，將平面圖形繞軸旋轉一周，得到的幾何體是（　　）

　A． B． C． D．

考點：點、線、面、體．
分析：根據半圓繞它的直徑旋轉一周形成球即可得出答案．
解答：解：半圓繞它的直徑旋轉一周形成球體．
故選：A．
點評：本題考查了平面圖形與立體圖形的聯系，培養學生的觀察能力和空間想象能力．
　
3．（3分）（2013•南寧）2013年6月11日，神舟十號飛船發射成功，神舟十號飛船身高9米，重約8噸，飛行速度約每秒7900米，將數7900用科學記數法表示，表示正確的是（　　）
　A．0.79×104B．7.9×104C．7.9×103D．0.79×103

考點：科學記數法—表示較大的數．
分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答：解：將7900用科學記數法表示為：7.9×103．
故選：C．
點評：此題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
4．（3分）（2013•南寧）小樂用一塊長方形硬紙板在陽光下做投影實驗，通過觀察，發現這塊長方形硬紙板在平整的地面上不可能出現的投影是（　　）
　A．三角形B．線段C．矩形D．正方形

考點：平行投影．
分析：根據平行投影的性質分別分析得出即可即可．
解答：解：將矩形木框立起與地面垂直放置時，形成的影子為線段；
將矩形木框與地面平行放置時，形成的影子為矩形；
將木框傾斜放置形成的影子為平行四邊形；
由物體同一時刻物高與影長成比例，且矩形對邊相等，故得到的投影不可能是三角形．
故選：A．
點評：本題考查了投影與視圖的有關知識，是一道與實際生活密切相關的熱點試題，靈活運用平行投影的性質是解題的關鍵．
　
5．（3分）（2013•南寧）甲、乙、丙、丁四名選手參加100米決賽，賽場只設1、2、3、4四個跑道，選手以隨機抽簽的方式決定各自的跑道，若甲首先抽簽，則甲抽到1號跑道的概率是（　　）
　A．1B． C． D．

考點：概率公式．
分析：由設1、2、3、4四個跑道，甲抽到1號跑道的只有1種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵設1、2、3、4四個跑道，甲抽到1號跑道的只有1種情況，
∴甲抽到1號跑道的概率是： ．
故選D．
點評：此題考查了概率公式的應用．注意概率=所求情況數與總情況數之比．
　
6．（3分）（2013•南寧）若分式 的值為0，則x的值為（　　）
　A．?1B．0C．2D．?1或2

考點：分式的值為零的條件．
分析：根據分式值為零的條件可得x?2=0，再解方程即可．
解答：解：由題意得：x?2=0，且x+1≠0，
解得：x=2，
故選：C．
點評：此題主要考查了分式值為零的條件，關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不為零”這個條件不能少．
　
7．（3分）（2013•南寧）如圖，圓錐形的煙囪底面半徑為15c，母線長為20c，制作這樣一個煙囪帽所需要的鐵皮面積至少是（　　）

　A．150πc2B．300πc2C．600πc2D．150πc2

考點：圓錐的計算．
專題：．
分析：根據圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，然后根據扇形的面積公式計算即可．
解答：解：煙囪帽所需要的鐵皮面積= ×20×2π×15=300π（c2）．
故選B．
點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
　
8．（3分）（2013•南寧）下列各式計算正確的是（　　）
　A．3a3+2a2=5a6B． C．a4•a2=a8D．（ab2）3=ab6

考點：二次根式的加減法；合并同類項；同底數冪的；冪的乘方與積的乘方．
專題：．
分析：分別根據合并同類項、同底數冪的法則及冪的乘方與積的乘方法則對各選項進行逐一判斷即可．
解答：解：A、3a3與2a2不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；
B、2 + =3 ，故本選項正確；
C、a4•a2=a6，故本選項錯誤；
D、（ab2）3=a3b6，故本選項錯誤．
故選B．
點評：本題考查的是二次根式的加減法，即二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合并，合并方法為系數相加減，根式不變．
　
9．（3分）（2013•南寧）陳老師打算購買氣球裝扮學校“六一”兒童節活動會場，氣球的種類有笑臉和愛心兩種，兩種氣球的價格不同，但同一種氣球的價格相同，由于會場布置需要，購買時以一束（4個氣球）為單位，已知第一、二束氣球的價格如圖所示，則第三束氣球的價格為（　　）

　A．19B．18C．16D．15

考點：二元一次方程組的應用．
分析：要求出第三束氣球的價格，先求出笑臉形和愛心形的氣球的單價就可以求出結論．
解答：解：設笑臉形的氣球x元一個，愛心形的氣球y元一個，由題意，得
，
解得：2x+2y=16．
故選C．
點評：本題考查了學生觀察能力和識圖能力，列二元一次方程組解實際問題的運用和數學整體思想的運用，解答本題時根據單價×數量=總價的數量關系建立方程是關鍵．
　
10．（3分）（2013•南寧）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（　　）

　A．圖象關于直線x=1對稱B．函數ax2+bx+c（a≠0）的最小值是?4
　C．?1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根D．當x＜1時，y隨x的增大而增大

考點：二次函數的性質．
分析：根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況，結合二次函數的性質，即可對所得結論進行判斷．
解答：解：A、觀察圖象，可知拋物線的對稱軸為直線x=1，則圖象關于直線x=1對稱，正確，故本選項不符合題意；
B、觀察圖象，可知拋物線的頂點坐標為（1，?4），又拋物線開口向上，所以函數ax2+bx+c（a≠0）的最小值是?4，正確，故本選項不符合題意；
C、由圖象可知拋物線與x軸的一個交點為（?1，0），而對稱軸為直線x=1，所以拋物線與x軸的另外一個交點為（3，0），則?1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根，正確，故本選項不符合題意；
D、由拋物線的對稱軸為x=1，所以當xx＜1時，y隨x的增大而減小，錯誤，故本選項符合題意．
故選D．
點評：此題考查了二次函數的性質和圖象，解題的關鍵是利用數形結合思想解題．
　
11．（3分）（2013•南寧）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，且AE=CD=8，∠BAC= ∠BOD，則⊙O的半徑為（　　）

　A．4 B．5C．4D．3

考點：垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．
專題：探究型．
分析：先根據∠BAC= ∠BOD可得出 = ，故可得出AB⊥CD，由垂徑定理即可求出DE的長，再根據勾股定理即可得出結論．
解答：解：∵∠BAC= ∠BOD，
∴ = ，
∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE= CD=4，
設OD=r，則OE=AE?r=8?r，
在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8?r，
∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8?r）2，解得r=5．
故選B．
點評：本題考查的是垂徑定理及圓周角定理，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．
　
12．（3分）（2013•南寧）如圖，直線y= 與雙曲線y= （k＞0，x＞0）交于點A，將直線y= 向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C，與雙曲線y= （k＞0，x＞0）交于點B，若OA=3BC，則k的值為（　　）

　A．3B．6C． D．

考點：反比例函數綜合題．
專題：探究型．
分析：先根據一次函數平移的性質求出平移后函數的解析式，再分別過點A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點F，再設A（3x， x），由于OA=3BC，故可得出B（x， x+4），再根據反比例函數中k=xy為定值求出x
解答：解：∵將直線y= 向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C，
∴平移后直線的解析式為y= x+4，
分別過點A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點F，設A（3x， x），
∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x軸，
∴CF= OD，
∵點B在直線y= x+4上，
∴B（x， x+4），
∵點A、B在雙曲線y= 上，
∴3x• x=x•（ x+4），解得x=1，
∴k=3×1× ×1= ．
故選D．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，根據題意作出輔助線，設出A、B兩點的坐標，再根據k=xy的特點求出k的值即可．
　
二、題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）（2013•南寧）若二次根式 有意義，則x的取值范圍是　x≥2　．

考點：二次根式有意義的條件．
分析：根據二次根式有意義的條件，可得x?2≥0，解不等式求范圍．
解答：解：根據題意，使二次根式 有意義，即x?2≥0，
解得x≥2；
故答案為x≥2．
點評：本題考查二次根式的意義，只需使被開方數大于或等于0即可．
　
14．（3分）（2013•南寧）一副三角板如圖所示放置，則∠AOB=　105　°．

考點：角的計算．
分析：根據三角板的度數可得：∠1=45°，∠2=60°，再根據角的和差關系可得∠AOB=∠1+∠2，進而算出角度．
解答：解：根據三角板的度數可得：∠1=45°，∠2=60°，
∠AOB=∠1+∠2=45°+60°=105°，
故答案為：105．

點評：此題主要考查了角的計算，關鍵是掌握角之間的關系．
　
15．（3分）（2013•南寧）分解因式：x2?25=　（x+5）（x?5）　．

考點：因式分解-運用公式法．
分析：直接利用平方差公式分解即可．
解答：解：x2?25=（x+5）（x?5）．
故答案為：（x+5）（x?5）．
點評：本題主要考查利用平方差公式因式分解，熟記公式結構是解題的關鍵．
　
16．（3分）（2013•南寧）某中學規定：學生的學期體育綜合成績滿分為100分，其中，期中考試成績占40%，期末考試成績占60%，小海這個學期的期中、期末成績（百分制）分別是80分、90分，則小海這個學期的體育綜合成績是　86　分．

考點：加權平均數．
分析：利用加權平均數的公式直接計算．用80分，90分分別乘以它們的百分比，再求和即可．
解答：解：小海這學期的體育綜合成績=（80×40%+90×60%）=86（分）．
故答案為86．
點評：本題考查的是加權平均數的求法．本題易出現的錯誤是求80、90這兩個數的平均數，對平均數的理解不正確．
　
17．（3分）（2013•南寧）有這樣一組數據a1，a2，a3，…an，滿足以下規律： ， （n≥2且n為正整數），則a2013的值為　?1　（結果用數字表示）．

考點：規律型：數字的變化類．
專題：規律型．
分析：求出前幾個數便不難發現，每三個數為一個循環組依次循環，用過2013除以3，根據商和余數的情況確定答案即可．
解答：解：a1= ，
a2= =2，
a3= =?1，
a4= = ，
…，
依此類推，每三個數為一個循環組依次循環，
∵2013÷3=671，
∴a2013為第671循環組的最后一個數，與a3相同，為?1．
故答案為：?1．
點評：本題是對數字變化規律的考查，根據計算得到每三個數為一個循環組依次循環是解題的關鍵．
　
18．（3分）（2013•南寧）如圖，在邊長為2的正三角形中，將其內切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內切圓都相切的圓）的內部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為　 ? π　．

考點：三角形的內切圓與內心．
分析：連接OB，以及⊙O與BC的切點，在構造的直角三角形中，通過解直角三角形易求得⊙O的半徑，然后作⊙O與小圓的公切線EF，易知△BEF也是等邊三角形，那么小圓的圓心也是等邊△BEF的重心；由此可求得小圓的半徑，即可得到四個圓的面積，從而由等邊三角形的面積減去四個圓的面積和所得的差即為陰影部分的面積．
解答：解：如圖，連接OB、OD；
設小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點為G；過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，
則∠BEF=∠BFE=90°?30°=60°，所以△BEF是等邊三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
則OD=BD•tan30°=1× = ，OB=2OD= ，BG=OB?OG= ；
由于⊙P是等邊△BEF的內切圓，所以點P是△BEF的內心，也是重心，
故PG= BG= ；
∴S⊙O=π×（ ）2= π，S⊙P=π×（ ）2= π；
∴S陰影=S△ABC?S⊙O?3S⊙P= ? π? π= ? π．
故答案為 ? π．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質、相切兩圓的性質以及圖形面積的計算方法，難度適中．
　
三、（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
19．（6分）（2013•南寧）計算：20130? +2cos60°+（?2）

考點：實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值．
分析：分別進行零指數冪、二次根式的化簡，然后代入特殊角的三角函數值合并即可得出答案．
解答：解：原式=1?3 +2× ?2=?3 ．
點評：本題考查了實數的運算，屬于基礎題，關鍵是掌握零指數冪的運算法則及一些特殊角的三角函數值．
　
20．（6分）（2013•南寧）先化簡，再求值： ，其中x=?2．

考點：分式的化簡求值．
專題：計算題．
分析：先算括號里面的，再把除式的分母分解因式，并把除法轉化為乘法，然后進行約分，最后把x的值代入進行計算即可得解．
解答：解：（ + ）÷
= ÷
= •
=x?1，
當x=?2時，原式=?2?1=?3．
點評：本題考查了分式的化簡求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統一為乘法運算．
　
四、本大題共2小題，每小題8分，共16分
21．（8分）（2013•南寧）如圖，△ABC三個定點坐標分別為A（?1，3），B（?1，1），C（?3，2）．
（1）請畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，將△A1B1C1放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請在第三象限內畫出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據網格結構找出點A、B、C關于y軸的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）連接A1O并延長至A2，使A2O=2A1O，連接B1O并延長至B2，使B2O=2B1O，連接C1O并延長至C2，使C2O=2C1O，然后順次連接即可，再根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；

（2）△A2B2C2如圖所示，
∵△A1B1C1放大為原來的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比為 ，
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（ ）2= ．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網格結構，準確找出對應點的位置是解題的關鍵，還利用了相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質．
　
22．（8分）（2013•南寧）2013年6月，某中學結合廣西中小學素養評估活動，以“我最喜愛的書籍”為主題，對學生最喜愛的一種書籍類型進行隨機抽樣調查，收集整理數據后，繪制出以下兩幅未完成的統計圖，請根據圖1和圖2提供的信息，解答下列問題：
（1）在這次抽樣調查中，一共調查了多少名學生？
（2）請把折線統計圖（圖1）補充完整；
（3）求出扇形統計圖（圖2）中，體育部分所對應的圓心角的度數；
（4）如果這所中學共有學生1800名，那么請你估計最喜愛科普類書籍的學生人數．

考點：折線統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．
專題：圖表型．
分析：（1）用文學的人數除以所占的百分比計算即可得解；
（2）根據所占的百分比求出藝術和其它的人數，然后補全折線圖即可；
（3）用體育所占的百分比乘以360°，計算即可得解；
（4）用總人數乘以科普所占的百分比，計算即可得解．
解答：解：（1）90÷30%=300（名），
故，一共調查了300名學生；

（2）藝術的人數：300×20%=60名，
其它的人數：300×10%=30名；
補全折線圖如圖；

（3）體育部分所對應的圓心角的度數為： ×360°=48°；

（4）1800× =480（名）．
答：1800名學生中估計最喜愛科普類書籍的學生人數為480．

點評：本題考查的是折線統計圖和扇形統計圖的綜合運用，折線統計圖表示的是事物的變化情況，扇形統計圖中每部分占總部分的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360°的比．
　
五、（本大題滿分8分）
23．（8分）（2013•南寧）如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E、F分別是邊BC、AD的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求線段AE的長．

考點：菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．
分析：（1）首先根據菱形的性質，得到AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，結合點E、F分別是邊BC、AD的中點，即可證明出△ABE≌△CDF；
（2）首先證明出△ABC是等邊三角形，結合題干條件在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，即可求出AE的長．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，
∵點E、F分別是邊BC、AD的中點，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵點E是邊BC的中點，
∴AE⊥BC，
在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，
sin60°= = ，
解得AE=2 ．
點評：本題主要考查菱形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的性質、全等三角形的證明以及等邊三角形的性質，此題難度不大，是一道比較好的中考試題．
　
六、（本大題滿分10分）
24．（10分）（2013•南寧）在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲騎自行車從A地到B地；乙騎自行車從B地到A地，到達A地后立即按原路返回，如圖是甲、乙兩人離B地的距離y（k）與行駛時x（h）之間的函數圖象，根據圖象解答以下問題：
（1）寫出A、B兩地直接的距離；
（2）求出點的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義；
（3）若兩人之間保持的距離不超過3k時，能夠用無線對講機保持聯系，請直接寫出甲、乙兩人能夠用無線對講機保持聯系時x的取值范圍．

考點：一次函數的應用．
分析：（1）x=0時甲的y值即為A、B兩地的距離；
（2）根據圖象求出甲、乙兩人的速度，再利用相遇問題求出相遇時間，然后求出乙的路程即可得到點的坐標以及實際意義；
（3）分相遇前和相遇后兩種情況求出x的值，再求出最后兩人都到達B地前兩人相距3千米的時間，然后寫出兩個取值范圍即可．
解答：解：（1）x=0時，甲距離B地30千米，
所以，A、B兩地的距離為30千米；

（2）由圖可知，甲的速度：30÷2=15千米/時，
乙的速度：30÷1=30千米/時，
30÷（15+30）= ，
×30=20千米，
所以，點的坐標為（ ，20），表示 小時后兩車相遇，此時距離B地20千米；

（3）設x小時時，甲、乙兩人相距3k，
①若是相遇前，則15x+30x=30?3，
解得x= ，
②若是相遇后，則15x+30x=30+3，
解得x= ，
③若是到達B地前，則15x?30（x?1）=3，
解得x= ，
所以，當 ≤x≤ 或 ≤x≤2時，甲、乙兩人能夠用無線對講機保持聯系．
點評：本題考查了一次函數的應用，主要利用了路程、速度、時間三者之間的關系，難點在于（3）要分情況討論．
　
七、（本大題滿分10分）
25．（10分）（2013•南寧）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，DE⊥AC于點E，BE交⊙O于點F，連接AF，AF的延長線交DE于點P．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求線段AP的長．

考點：切線的判定；圓周角定理；解直角三角形．
專題：證明題．
分析：（1）連結AD、OD，根據圓周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形的直線得DC=DB，所以OD為△BAC的中位線，則OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，
這樣根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）易得四邊形OAED為正方形，然后根據正切的定義計算tan∠ABE的值；
（3）由AB是⊙O的直徑得∠AFB=90°，再根據等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，則tan∠EAP=tan∠ABE= ，在Rt△EAP中，利用正切的定義可計算出EP，然后利用勾股定理可計算出AP．
解答：（1）證明：連結AD、OD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，即DC=DB，
∴OD為△BAC的中位線，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴四邊形OAED為矩形，
而OD=OA，
∴四邊形OAED為正方形，
∴AE=AO，
∴tan∠ABE= = ；

（3）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠FAB=90°，
而∠EAP+∠FAB=90°，
∴∠EAP=∠ABF，
∴tan∠EAP=tan∠ABE= ，
在Rt△EAP中，AE=2，
∵tan∠EAP= = ，
∴EP=1，
∴AP= = ．

點評：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了圓周角定理和解直角三角形．
　
八、（本大題滿分10分）
26．（10分）（2013•南寧）如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經過C（2，0），D（0，?1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，?2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點、N．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求證：AO=A；
（3）探究：
①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時 的值；
②試說明無論k取何值， 的值都等于同一個常數．

考點：二次函數綜合題．
專題：代數幾何綜合題．
分析：（1）把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c，即可得解；
（2）根據拋物線解析式設出點A的坐標，然后求出AO、A的長，即可得證；
（3）①k=0時，求出A、BN的長，然后代入 + 計算即可得解；
②設點A（x1， x12?1），B（x2， x22?1），然后表示出 + ，再聯立拋物線與直線解析式，消掉未知數y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入進行計算即可得解．
解答：（1）解：∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經過C（2，0），D（0，?1），
∴ ，
解得 ，
所以，拋物線的解析式為y= x2?1；

（2）證明：設點A的坐標為（， 2?1），
則AO= = 2+1，
∵直線l過點E（0，?2）且平行于x軸，
∴點的縱坐標為?2，
∴A= 2?1?（?2）= 2+1，
∴AO=A；

（3）解：①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，
∴A=BN=0?（?2）=2，
∴ + = + =1；

②k取任何值時，設點A（x1， x12?1），B（x2， x22?1），
則 + = + = = ，
聯立 ，
消掉y得，x2?4kx?4=0，
由根與系數的關系得，x1+x2=4k，x1•x2=?4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2?2x1•x2=16k2+8，
x12•x22=16，
∴ + = = =1，
∴無論k取何值， + 的值都等于同一個常數1．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，勾股定理以及點到直線的距離，根與系數的關系，根據拋物線上點的坐標特征設出點A、B的坐標，然后用含有k的式子表示出 + 是解題的關鍵，也是本題的難點，計算量較大，要認真仔細．