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第二十六章　反比例函數
26．1　反比例函數
26．1.1　反比例函數
01　　基礎題
知識點1　在實際問題中建立反比例函數模型
1．下列選項中，能寫成反比例函數的是(D)
A．人的體重與身高
B．正三角形的邊長與面積
C．速度一定，路程與時間的關系
D．銷售總價不變，銷售單價與銷售數量的關系
2．已知甲、乙兩地相距20千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時間t(單位：小時)關于行駛速度v(單位：千米/小時)的函數關系是(B)
A．t＝20v                B．t＝20v           C．t＝v20                D．t＝10v
3．已知近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例[即y＝kx(k≠0)]，若200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5 m，則y與x 之間的函數解析式是y＝100x.
知識點2　反比例函數的定義
4．下列函數關系式中，y是x的反比例函數的是(C)
A．y＝3x                 B．y＝3x＋1
C．y＝3x                  D．y＝3x2
5．反比例函數y＝－25x中，k的值是(C)
A．2                    B．－2 
C．－25                  D．－52
6．函數y＝－3x－1的自變量的取值范圍是x≠1．
7．已知反比例函數y＝6x，則當自變量x＝－2時，函數值是y＝－3．
知識點3　確定反比例函數解析式
8．已知y與x成反比例，且當x＝3時，y＝7.求：
(1)y與x之間的函數解析式；
(2)當x＝13時，求y的值；
(3)當y＝3時，求x的值．
解：(1)∵y與x成反比例，
∴可設y＝kx(k≠0)．
∴7＝k3，即k＝21.
∴y與x的函數解析式為y＝21x.
(2)當x＝13時，y＝2113＝63.
(3)當y＝3時，3＝21x，解得x＝7.

02　　中檔題
9．下列函數中，變量y是x的反比例函數的是(C)
A．y＝8x＋5                        B．y＝3x＋7
C．xy＝5                          D．y＝2x2
10．在物理學中，壓力F、壓強p與受力面積S的關系是p＝FS，則下列描述中正確的是(D)
A．當壓力F一定時，壓強p是受力面積S的正比例函數
B．當壓強p一定時，壓力F是受力面積S的反比例函數
C．當受力面積S一定時，壓強p是壓力F的反比例函數
D．當壓力F一定時，壓強p是受力面積S的反比例函數
11．(保定章末測試)把一個長、寬、高分別為3 cm、2 cm、1 cm的長方體銅塊鑄成一個圓柱體銅塊，則該圓柱體銅塊的底面積S(cm2)與高h(cm)之間的函數解析式為S＝6h．
12．若y＝(m－1)xm2－2是y關于x的反比例函數關系式，則m＝－1，此函數的解析式是y＝－2x．
13．(1)當n取多少時，函數y＝－3xn－2是正比例函數？
(2)當n取多少時，函數y＝－3xn－2是反比例函數？
(3)當n取多少時，函數y＝－3xn－2是二次函數？
解：(1)n＝3.
(2)n＝1.
(3)n＝4.

14．已知y是x的反比例函數，下表給出了x與y的一部分值：
x －3 －2 －1 －12
12
1 2 3
y 23
1 2 4 －4 －2 －1 －23

(1)求這個反比例函數的解析式；
(2)根據函數解析式完成上表．
解：(1)設y＝kx.由表知，當x＝－1時，y＝2.
∴2＝k－1.解得k＝－2.
∴y＝－2x.
(2)如表．

15．設面積為20 cm2的平行四邊形的一邊長為a cm，這條邊上的高為h cm.
(1)求h關于a的函數解析式及自變量a的取值范圍；
(2)h關于a的函數是不是反比例函數？如果是，請說出它的比例系數；
(3)當a＝25時，求這條邊上的高h.
解：(1)h＝20a(a>0)．
(2)是反比例函數，它的比例系數是20.
(3)當a＝25時，這條邊上的高h＝2025＝45(cm)．

03　　綜合題
16．已知函數y＝y1＋y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x＝1時，y＝4；當x＝2時，y＝5.
(1)求y與x之間的函數解析式；
(2)當x＝4時，求y的值．
解：(1)設y1＝k1x ，y2＝k2x，
則y＝y1＋y2＝k1x＋k2x.
∵當x＝1時，y＝4；當x＝2時，y＝5，
∴4＝k1＋k2，5＝2k1＋k22.解得k1＝2，k2＝2.
∴y＝2x＋2x.
(2)當x＝4時，y＝2×4＋24＝812.

 
26.1.2　反比例函數的圖象和性質
第1課時　反比例函數的圖象和性質
01　　基礎題
知識點1 　反比例函數y＝kx(k＞0)的圖象和性質
1．當x＜0時，下列表示函數y＝1x的圖象的是(D)
 
2．(邯鄲武安期末)反比例函數y＝kx的圖象經過點(－1，－2)，則該反比例函數的圖象位于(B)
A．第一、二象限                B．第一、三象限
C．第二、四象限                D．第三、四象限
3．對于反比例函數y＝3x，下列說法中正確的是(C)
A．隨自變量x的增大，函數值y也增大
B．它的圖象與x軸能夠相交
C．它的兩支曲線與y軸都不相交
D．點(1，3)與(－1，3)都在函數的圖象上
4．(遵義中考)已知反比例函數y＝kx(k>0)的圖象經過點A(1，a)，B(3，b)，則a與b的關系正確的是(D)
A．a＝b              B．a＝－b
C．a<b               D．a>b
 
5．已知反比例函數y＝1－mx的圖象如圖所示，則m的取值范圍是m＜1.
6．(成都中考)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點都在反比例函數y＝2x的圖象上，且x1<x2<0，則y1>y2(填“>”或“<”)．

知識點2　反比例函數y＝kx(k＜0)的圖象和性質
7．對于函數y＝－3x，當x＜0時，函數圖象位于(B)
A． 第一象限           B．第二象限                C．第三象限            D．第四象限
8．(唐山玉田縣期末)對于函數y＝－2x，下列結論錯誤的是(C)
A．當x＞0時，y隨x的增大而增大
B．當x＜0時，y隨x的增大而增大
C．x＝1時的函數值大于x＝－1時的函數值
D．在函數圖象所在的每個象限內，y隨x的增大而增大
9．(石家莊模擬)在反比例函數y＝1－3mx圖象上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜0，y1＜y2，則m的取值范圍是(A)
A．m＞13                        B．m＜13
C．m≥13                        D．m≤13
10．(山西中考)已知點(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函數y＝mx(m<0)圖象上的兩點，則y1>y2.(填“>”“＝”或“<”)
11．如圖，已知反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象經過點A(－2，8)．
(1)求這個反比例函數的解析式；
(2)若(2，y1)，(4，y2)是這個反比例函數圖象上的 兩個點，請比較y1，y2的大小，并說明理由．
 
解：(1)y＝－16x.
(2)y1＜y2.理由：
∵k＝－16＜0，
∴在每一個象限內，函數值y隨x的增大而增大．
又∵點(2，y1)，(4，y2)都在第四象限，且2＜4，
∴y1＜y2.

02　　中檔題
12．(唐山一模)如圖，反比例函數y＝kx的圖象可能是(D)
 
13．(河北中考)反比例函數y＝mx的圖象如圖所示，以下結論：①常數m<－1；②在每個象限內，y隨x的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在函數圖象上，則h<k；④若P(x，y)在函數圖象上，則P′(－x，－y)也在函數圖象上．其中正確的是(C)
A．①②             B．②③           C．③④             D．①④
 
14．如圖是三個反比例函數圖象的分支，則k1，k2，k3的大小關系是k1＜k3＜k2.
　　　
15．點(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函數y＝kx(k＞0)的圖象上，若y1＜y2，則a的取值范圍是－1＜a＜1．
解析：∵k＞0，∴反比例函數y＝kx的圖象位于第一、三象限，且在每個象限內y隨x的增大而減小．又∵a－1＜a＋1且y1＜y2，
∴點(a－1，y1)位于第三象限，點(a＋1，y2)位于第一象限．
∴a－1＜0，a＋1＞0.
∴－1＜a＜1.
16．(唐山玉田縣期末)已知反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象經過點(1，－k＋2)．
(1)求這個反比例函數的解析式；
(2)若(a，y1)，(a＋1，y2)是這個反比例函數圖象上的兩個點，請比較y1，y2的大小，并說明理由．
解：(1)∵反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象經過點(1，－k＋2)，
∴－k＋2＝k1，解得k＝1.
∴這個反比例函數的解析式是y＝1x.
(2)①當a＞0時，則a＜a＋1，
∵反比例函數y＝1x的圖象在第一象限內，y隨x的增大而減小，
∴y1>y2.
②當－1＜a＜0時，則a＋1＞0，由圖象知y1<y2.
③當a＜－1時，則a＜a＋1，
∵反比例函數y＝1x的圖象在第三象限內，y隨x的增大而減小，
∴y1＞y2.
綜上所述，當a>0或a<－1時，y1>y2；
當－1<a<0時，y1<y2.

03　　綜合題
17．(威海中考改編)已知反比例函數y＝1－2mx(m為常數)的圖象在第一、三象限．
(1)求m的取值范圍；
(2)如圖，若該反比例函數的圖象經過▱ABOD的頂點D，點A，B的坐標分別為(0，3)，(－2，0)，求出該反比例函數的解析式；
(3)若E(x1，y1)，F(x2，y2)都在該反比例函數的圖象上，且x1>x2>0，那么y1和y2有怎樣的大小關系？
 
解：(1)根據題意，得1－2m＞0，解得m＜12.
(2)∵四邊形ABOD為平行四邊形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝2.
∴D點坐標為(2，3)．
∴1－2m＝2×3＝6.
∴該反比例函數的解析式為y＝6x.
(3)∵x1>x2>0，
∴E，F兩點都在第一象限．
又∵在每一個象限內，函數值y隨x的增大而減小，
∴y1＜y2.

 
第2課時　反 比例函數的性質的綜合應用
01　　基礎題
知識點1　用待定系數法求反比例函數的解析式
1．(哈爾濱中考)點(2，－4)在反比例函數y＝kx的圖象上，則下列各點在此函數圖象上的是(D)
A．(2，4)                   B．(－1，－8)
C．(－2，－4)               D．(4，－2)
2．圖象經過點A(－2，－4)的反比例函數的解析式為y＝8x．
知識點2　反比例函數中k的幾何意義
3．(唐 山豐灤區一模)如圖，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數y＝kx的圖象過點A，則k的值是(D)
A．2                B．－2                   C．4              D．－4
 
4．(河南中考)如圖，過反比例函數y＝kx(x＞0)的圖象上一點A作AB⊥x軸于點B，連接AO，若S△AOB＝2，則k的值為(C)
A．2                B．3               C．4                D．5
　　　
5．如圖，A，C是函數y＝1x的圖象上的任意兩點，過A作x軸的垂線，垂足為B，過C作y軸的垂線，垂足為D，連接OA，OC，設Rt△AOB的面積為S1，Rt△COD的面積為S2，則(C)
 
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．S1和S2的大小關系不能確定
知識點3　函數的綜合運用
6．(邯鄲武安期末)在同一坐標系中，函數y＝kx和y＝kx＋1(k＞0)的圖象大致是(A)
 
7．若雙曲線y＝kx與直線y＝2x＋1的一個交點的橫坐標為－1，則k的值為(B)
A．－1               B．1              C．－2            D．2
8．(廣安中考)如圖，一次函數y1＝kx＋b(k≠0)和反比例函數y2＝mx(m≠0)的圖象交于點A(－1，6)，B(a，－2)．
(1)求一次函數與反比例函數的解析式；
(2)根據圖象直接寫出y1>y2時，x的取值范圍．
 
解：(1)把點A(－1，6)代入反比例函數y2＝mx(m≠0)，得m＝－1×6＝－6，∴y2＝－6x.
將B(a，－2)代入y2＝－6x，得－2＝－6a，解得a＝3，
∴B(3，－2)．
將A(－1，6)，B(3，－2)代入一次函數y1＝kx＋b，得
－k＋b＝6，3k＋b＝－2.∴k＝－2，b＝4.
∴y1＝－2x＋4.
(2)x<－1或0<x<3.

02　　中檔題
9．定義新運算：a?b＝a－1（a≤b），－ab（a＞b且b≠0）.則函數y＝3?x的圖象大致是(B)
 
10．正方形ABCD的頂點A(2，2)，B(－2，2)，C(－2，－2)，反比例函數y＝2x 與y＝－2x的圖象均與正方形ABCD的邊相交，如圖，則圖中的陰影部分的面積是(C)
 
A．2                    B．4                        C．8                  D．6
11．(青島中考)一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象經過A(－1，－4)，B(2，2)兩點，P為反比例函數y＝kbx圖象上的一個動點，O為坐標原點，過P作y軸的垂線，垂足為C，則△PCO的面積為(A)
A．2            B．4                  C．8              D．不確定
 
12．雙曲線y1、y2在第一象限的圖象如圖，y1＝4x，過y1上的任意一點A，作x軸的平行線交y2于B，交y軸于C，若S△AOB＝1，則y2的解析式是y2＝6x．
13．如圖，直線y＝12x＋2與雙曲線y＝kx相交于點A(m，3)，與x軸交于點C.
(1)求雙曲線解析式；
(2)點P在x軸上，如果△ACP的面積為3，求點P的坐標．
 
解：(1)把A(m，3)代入直線解析式，得3＝12m＋2，解得m＝2，∴A(2，3)．
把A(2，3)代入y＝kx，得k＝6，∴雙曲線解析式為y＝6x.
(2)對于直線y＝12x＋2，令y＝0，得到x＝－4，
∴C(－4，0)．
設P(x，0)，可得PC＝|x＋4|，∵△ACP面積為3，
∴12|x＋4|•3＝3，即|x＋4|＝2.
解得x＝－2或x＝－6.
∴點P坐標為(－2，0)或(－6，0)．

14．(廣州中考)已知反比例函數y＝m－7x的圖象的一支位于第一象限．
(1)判斷該函數圖象的 另一支所在的象限，并求m的取值范圍；
(2)如圖，O為坐標原點，點A在該反比例函數位于第一象限的圖象上，點B與點A關于x軸對稱，若△OAB的面積為6，求m的值．
 
解：(1)∵該函數圖象的一支位于第一象限，
∴該函數圖象的另一支位于第三象限．
∴m－7＞0，即m>7.
∴m的取值范圍是m＞7.
(2)設點A的坐標為(x，y)．
∵點B與點A關于x軸對稱，
∴B點坐標為(x，－y)．
∴AB的距離為2y.
∵S△OAB＝6，
∴12•2y•x＝6.∴xy＝6.
∵y＝m－7x，∴xy＝m－7.
∴m－7＝6.∴m＝13.

03　　綜合題
15．(石家莊四十二中一模)如圖，已知A(－4，12)，B(－1，2)是一次函數y＝ax＋b與反比例函數y＝mx(m＜0)圖象的兩個交點，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D.
(1)根據圖象直接回答：在第二象限內，當x取何值時，一次函數大于反比例函數的值？
(2)求一次函數解析式及m的值；
(3)P是線段AB上的一點，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求P點坐標．
 
解：(1)當－4＜x＜－1時，一次函數大于反比例函數的值．
(2)把A(－4，12)，B(－1，2)代入y＝kx＋b，得
－4k＋b＝12，－k＋b＝2.解得k＝12，b＝52.
∴一次函數解析式為y＝12x＋52.
把B(－1，2)代入y＝mx，得m＝－1×2＝－2.
(3)設P點坐標為(t，12t＋52)．
∵△PCA和△PDB面積相等，
∴12×12•(t＋4)＝12×1•(2－12t－52)，解得t＝－52.
則12t＋52＝54.
∴P點坐標為(－52，54)．

 
26.2　實際問題與反比例函數
01　　基礎題
知識點　反比例函數的實際應用
1．(河北中考)一臺印刷機每年可印刷的書本數量y(萬冊)與它的使用時間x(年)成反比例關系，當x＝2時，y＝20，則y與x的函數圖象大致是(C)
 
2．(廣州中考)一司機駕駛汽車從甲地開往乙地，他以平均80千米/小時的速度用了4個小時到達乙地，當他按原路勻速返回時，汽車的速度v千米/小時與時間t小時的函數關系是(B)
A．v＝320t                 B．v＝320t
C．v＝20t                  D．v＝20t
3．(保定蓮池區模擬)2018年河北體育中考中，男生將進行1 000米跑步測試，王亮跑步速度v(米/分)與測試時間t(分)的函數圖象是(C)
 
4．某家庭用購電卡購買了2 000度電，若此家庭平均每天的用電量為x(單位：度 )，這2 000度電能夠使用的天數為y(單位：天)，則y與x的函數解析式為y＝2 000x．
5．實驗表明，當導線的長度一定時，導線的電阻與它的橫截面積成反比例．一條長為100 cm的導線的電阻R(Ω)與它的橫截面積S(cm2)的函數圖象如圖所示，那么，其函數解析式為R＝29S，當S＝2 cm2時，R＝_14.5Ω.
 
6．如圖所示是一蓄水池每小時的排水量V(m3/h)與排完水池中的水所用時間t(h)之間的函數關系圖象，若要5小時排完水池中的水，則每小時的排水量應為9.6m3.
　　
7．(德州中考)某中學組織學生參加社會實踐活動，他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工作，已知該運動鞋每雙的進價為120元，為尋求合適的銷售價格進行了4天的試銷，試銷情況如下表所示：

 第1天 第2天 第3天 第4天
售價x(元/雙) 150 200 250 300
銷售量y(雙) 40 30 24 20
(1)觀察表中數據，x，y滿足什么函數關系？請求出這個函數解析式；
(2)若商場計劃每天的銷售利潤為3 000元，則其單價應定為多少元？
解：(1)由表中數據可得：xy＝6 000，∴y＝6 000x.
∴y是x的反比例函數，其函數關系式為y＝6 000x.
(2)由題意得：(x－120)y＝3 000，將y＝6 000x代入，得(x－120)•6 000x＝3 000，
解得x＝240.
經檢驗x＝240是原方程的解．
答：若商場計劃每天的銷售利潤為3 000元，則其單價應定為240元．

02　　中檔題
8．(海南中考)某村耕地總面積為50公頃，且該村人均耕地面積y(單位：公頃/人)與總人口x(單位：人)的函數圖象如圖所示，則下列說法正確的是(D)
 
A．該村人均耕地面積隨總人口的增多而增多
B．該村人均耕地面積y與總人口x成正比例
C．若該村人均耕地面積為2公頃/人，則總人口有100人
D．當該村總人口為50人時，人均耕地面積為1公頃/人
9．某種氣球內充滿了一定質量的氣體．當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數，其圖象如圖所示．當氣球內氣體的氣壓大于120 kPa時，氣球將爆炸．為了安全，氣體的體積應該(C)
 
A．不大于54 m3                B．小于54 m3                      C．不小于45 m3                D．小于45 m3
解析：設球內氣體的氣壓p(kPa)和氣體體積V(m3)的解析式為p＝kV，∵圖象過點(1.6，60)，∴k＝96，即p＝96V.當p≤120時，V＝96p≥45.故選C.
10．物理學告訴我們這樣的事實：當壓力F不變時，壓強p和受力面積S之間是反比例函數，可以表示成p＝FS.一個圓臺形物體的上底面積是下底面積的23，如圖，如果正放在桌面上，對桌面的壓強是200 Pa，反過來放，對桌面的壓強是300_Pa．
 
11．(邢臺臨城縣一模)如圖所示，墻MN長為12 m，要利用這面墻圍一個矩形小院，面積為60 m2，現有建材能建圍墻總長至多26 m，設AB＝x m，BC＝y m.
(1)寫出y與x之間的函數解析式；
(2)要求x和y都取整數，且小院的長寬比盡可能的小，x應取何值？
 
解：(1)y＝60x.
(2)∵y＝60x，x，y都是整數，且2x＋y≤26，0＜y≤12.
∴120y＋y≤26，且0＜y≤12.
∴y的值只能取6，10，12，對應的x的值依次是10，6，5.
則符合條件的建設方案只有BC＝6 cm，AB＝10 cm；BC＝10 cm，AB＝6 cm；BC＝12 cm，DC＝5 cm.
∵610＜106＜125，∴x＝10.

03　　綜合題
12．(麗水中考)麗水某公司將“麗水山耕”農副產品運往杭州市場進行銷售．記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/時(汽車行駛速度不超過100千米/時)．根據經驗，v，t的一組對應值如下表：

v(千米/時) 75 80 85 90 95
t(小時) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
(1)根據表中的數據，求出平均速度v(千米/時)關于行駛時間t(小時)的函數解析式；
(2)汽車上午7：30從麗水出發，能否在上午10：00之前到達杭州市？請說明理由；
(3)若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍．
 
解：(1)根據表中的數據，可畫出v關于t的函數圖象(如圖所示)，
根據圖象形狀，選擇反比例函數模型進行嘗試．設v與t的函數解析式為v＝kt，
∵當v＝75時，t＝4，∴k＝4×75＝300.∴v＝300t.
將點(3.75，80)，(3.53，85)，(3.33，90)，(3.16，95)的坐標代入v＝300t驗證：
30080＝3.75，30085≈3.53，30090≈3.33，30095≈3.16，
∴v與t的函數關系式為v＝300t(t≥3)．
(2)不能．理由：∵10－7.5＝2.5，
∴當t＝2.5時，v＝3002.5＝120>100.
∴汽車上午7：30從麗水出發，不能在上午10：00之前到達杭州市場．
(3)由圖象或反比例函數的性質得：當3.5≤t≤4時，75≤v≤6007.
 
周周練(26.1～26.2)
(時間：40分鐘　滿分：100分)
一、選擇題(每小題4分，共32分)
1．下列函數中是反比例函數的是(B)
A．y＝x2              B．y＝－5x          C．y＝x2              D．y＝2x＋1
2．已知y＝8xn－2，若y是x的反比例函數，則n＝(A)
A．1                    B．－1         C．1或－1               D．0
3．(邢臺臨城縣一模)現有一水塔，內裝水20 m3，若勻速放水x m3/h，則需要y h才能把水放完，那么表示y與x之間函數關系的圖象是(C)
 
4．在反比例函數y＝1－kx的圖象的每一支曲線上，y都隨x的增大而增大，則k的值可以是(D)
A．－1               B．0             C．1           D．2
5．若y與1x成反比例，x與1z成正比例，則y是z的(B)
A．正比例函數                B．反比例函數
C．一次函數                  D．以上均不對
6．(x疆中考)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數y＝kx(k≠0) 圖象上的兩個點，當x1<x2<0時，y1>y2，那么一次函數y＝kx－k的圖象不經過(B)
A．第一象限               B．第二象限
C．第三象限               D．第四象限
7．在y＝1x的圖象中，陰影部分面積不為1的是(B)
 
8．(大慶中考)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函數y＝2x上的三點，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，則下列關系式不正確的是(A)
A．x1•x2＜0               B．x1•x3＜0
C．x2•x3＜0               D．x1＋x2＜0
解析：∵反比例函數y＝2x中，2＞0，
∴圖象在第一、三象限，且在每一象限內，y隨x的增大而減小．
∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，
∴點A，B在第三象限，點C在第一象限．
∴x1＜x2＜0＜x3.∴x1•x2>0，故選A.

二、填空題(每小題4分，共24分)
9．(菏澤中考)已知A(－1，m)與B(2，m－3)是反比例函數y＝kx圖象上的兩個點，則m的值為2．
10．(石家莊四十二中一模)已知四個點的坐標分別是(－1，1)，(2，2)，(23，32)，(－5，－15)，從中隨機選取一個點，在反比例函數y＝1x圖象上的概率是12．
11．(福建中考)已知矩形ABCD的四個頂點均在反比例函數y＝1x的圖象上，且點A的橫坐標是2，則矩形ABCD的面積為7.5．
12．若反比例函數y＝kx(k<0)的圖象經過點P(2，m)，Q(1，n)，則m與n的大小關系是：m＞n.(填“>”“＝”或“<”)
13．(南京中考)函數y1＝x與y2＝4x的圖象如圖所示，下列關于函數y＝y1＋y2的結論：①函數的圖象關于原點中心對稱；②當x＜2時，y隨x的增大而減小；③當x＞0時，函數的圖象最低點的坐標是(2，4)，其中所有正確結論的序號是①③．
 
14．(甘南中考)如圖，點A在雙曲線y＝1x上，點B在雙曲線y＝3x上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為2．
　　　
三、解答題(共44分)
15．(10分)湖州市菱湖鎮某養魚專業戶準備挖一個面積為2 000平方米的長方形魚塘．
(1)求魚塘的長y(米)關于寬x(米)的函數解析式；
(2)由于受場地的限制，魚塘的寬最多只能挖20米，當魚塘的寬是20米時，魚塘的長為多少米？
解：(1)由長方形面積為2 000平方米，得到xy＝2 000，即y＝2 000x.
(2)當x＝20時，y＝2 00020＝100.
即當魚塘的寬是20米時，魚塘的長為100米．

16．(10分)已知反比例函數y＝kx的圖象與一次函數y＝3x＋m的圖象相交于點(1，5)．
(1)求這兩個函數的解析式；
(2)求這兩個函數圖象的另一個交點的坐標．
解：(1)由題意，得5＝k1，5＝3×1＋m，
解得k＝5，m＝2.
∴y＝5x，y＝3x＋2.
(2)聯立y＝5x，y＝3x＋2，解得x＝－53，y＝－3或x＝1，y＝5.
∴這兩個函數圖象的另一個交點的坐標是(－53，－3)．

17．(12分)某蓄水池的排水管每小時排水12 m3，8 h可將滿池水全部排空．
(1)蓄水池的容積是多少？
(2)如果增加排水管，使每小時的排水量達到x(m3)，那么將滿池水排空所需的時間y(h)將如何變化？
(3)寫出y與x之間的函數解析式；
(4)如果準備在6 h內將滿池水排空，那么每小時的排水量至少為多少？
(5)已知排水管每小時的最大排水量為24 m3，那么最少多長時間可將滿池水全部排空？
解：(1)12×8＝96(m3)．
(2)將滿池水排空所需的時間y(h)將減小．
(3)y＝96x.
(4)由題意得6＝96x，解得x＝16.
∴每小時的排水量至少為16 m3.
(5)9624＝4(h)．
∴最少4 h可將滿池水全部排空．

18．(12分)(承德六校一模)如圖，點A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)都在反比例函數y＝kx的圖象上．
(1)求m，k的值；
(2)求直線AB的函數解析式；
(3)如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點M，N的坐標．
 
解：(1)∵點A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)都在反比例函數y＝kx的圖象上，
∴k＝m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)．
∴m2＋m＝m2＋2m－3.解得m＝3.
∴k＝3×(3＋1)＝12.
(2)∵m＝3，∴A(3，4)，B(6，2)．
設直線AB的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，則
4＝3k＋b，2＝6k＋b，解得k＝－23，b＝6.
∴直線AB的解析式為y＝－23x＋6.
 
(3)如圖，作AM⊥x軸于M，作BN⊥y軸于N，兩線交于P.
由(1)知，A(3，4)，B(6，2)，
∴AP＝PM＝2，BP＝PN＝3.
∴M(3，0)，N(0，2)．
∵四邊形ANMB是平行四邊形，
當M(－3，0)，N(0，－2)時，根據勾股定理能求出AM＝BN，AB＝MN，
即四邊形AMNB是平行四邊形，
∴M(－3，0)，N(0，－2)．
綜上所述，M(3，0)，N(0，2)或M(－3，0)，(0，－2)．
 
小專題(一)　反比例函數與其他函數的綜合運用
題組訓練一　反比例函數與其他函數的“友好會晤”
類型1　反比例函數與一次函數
1．(唐山路南區一模)如圖，正比例函數y＝kx與反比例函數y＝k－1x的圖象不可能是(D)
 
2．(長沙模擬)一次函數y＝kx＋1的圖象如圖，則反比例函數y＝kx(x＜0)的圖象只能是(C)
 
類型2　反比例函數與二次函數
3．(廣州中考)已知a≠0，函數y＝ax與y＝－ax2＋a在同一直角坐標系中的大致圖象可能是(D)
 
4．(唐山路北區二模)如圖，二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象過點B(0，－2)．它與反比例函數y＝－8x的圖象交于點A(m，4)，則這個二次函數的解析式為(A)
 
A．y＝x2－x－2                 B．y＝x2－x＋2
C．y＝x2＋x－2                 D．y＝x2＋x＋2
5．(河北中考)如圖，若拋物線y＝－x2＋3與x軸圍成封閉區域(邊界除外)內整點(點的橫、縱坐標都是整數)的個數為k，則反比例函數y＝kx(x＞0)的圖象是(D)
 
類型3　反比例函數、一次函數與二次函數
6．(安徽中考)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與反比例函數y＝bx的圖象在第一象限有一個公共點，其橫坐標為1.則一次函數y＝bx＋ac的圖象可能是(B)
 
7．(菏澤中考)一次函數y＝ax＋b和反比例函數y＝cx在同一個平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(A)
 
8．(石家莊四十二中一模)如圖1、2、3所示，陰影部分面積的大小關系正確的是(C)
 
A．①＞②＞③                 B．③＞②＞①
C．②＞③＞①                 D．①＝②＝③

題組訓練二　反比例函數與一次函數的綜合運用
類型1　求自變量的取值范圍
1．(自貢中考)一次函數y1＝k1x＋b和反比例函數y2＝k2x(k1•k2≠0)的圖象如圖所示，若y1＞y2，則x的取值范圍是(D)
 
A．－2＜x＜0或x＞1            B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1                 D．x＜－2或0＜x＜1
2．(寧波中考)如圖，正比例函數y1＝－3x的圖象與反比例函數y2＝kx的圖象交于A、B兩點．點C在x軸負半軸上，AC＝AO，△ACO的面積為12.
(1)求k的值；
(2)根據圖象，當y1>y2時，寫出x的取值范圍．
解：(1)過點A作AD⊥OC于點D.
 
∵AC＝AO，∴CD＝DO.
∴S△ADO＝12S△ACO＝6.
設A(x0，－3x0)，則有12|x0|•|－3x0|＝6.
∴x0＝－2.
∴A(－2，6)．把 A(－2，6)代入反比例函數解析式，得k＝－2×6＝－12.
(2)x＜－2或0＜x＜2.

類型2　求參數的值或取值范圍
3．函數y＝1－kx的圖象與直線y＝x沒有交點，那么k的取值范圍是(A)
A．k＞1            B．k＜1              C ．k＞－1            D．k＜－1
4．若正比例函數y＝2kx與反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象交于點A(m，1)，則k的值是(B)
A.2或－2                  B.22或－22
C.22                        D.2
5．如圖，在平面直角坐標系中，點M為x軸正半軸上一點，過點M的直線l∥ y軸，且直線l分別與反比例函數y＝8x(x＞0)和y＝kx(x＞0)的圖象交于P、Q兩點，若S△POQ＝14，則k的值為－20．
 
類型3　求交點問題
6．(曲靖中考)如圖，雙曲線y＝kx與直線y＝－12x交于A、B兩點，且點A(－2，m)，則點B的坐標是(A)
 
A．(2，－1)                    B．(1，－2) 
C．(12，－1)                    D．(－1，12)
7．(連云港中考)設函數y＝3x與y＝－2x－6的圖象的交點坐標為(a，b)，則1a＋2b的值是－2．
解析：根據函數的交點(a，b)，可代入得到ab＝3，b＝－2a－6，即b＋2a＝－6，然后通分可得1a＋2b＝b＋2aab＝－63＝－2.

類型4　求圖形面積
8．如圖，一次函數y＝ax－1(a≠0)的圖象與反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象相交于A、B兩點，且點A的坐標為(2，1)，點B的坐標為(－1，n)．
(1)分別求兩個函數的解析式；
(2)求△AOB的面積．
 
解：(1)∵一次函數y＝ax－1(a≠0)的圖象與反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象相交于A、B兩點，且點A的坐標為(2，1)，
∴2a－1＝1，k2＝1.解得a＝1，k＝2.
∴一次函數的解析式是y＝x－1，反比例函數的解析式是y＝2x.
(2)設AB與y軸交于點C，當x＝0時，y＝－1，即C(0，－1)．
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×|－1|×2＋12×|－1|×|－1|＝1＋12＝32.
 
小專題(二)　反比例函數與幾何圖形
與反比例函數相關的幾個結論，在解題時可以考慮調用
① 　　　　　　　　  　②
結論：S矩形OABC＝2S△OAB＝|k|.  　　結論：S△OCD＝S梯形ABCD.
③   　④
結論：AB＝CD.          結論：AB＝CD.
 
1．(棗莊中考)如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為(－3，4)，頂點C在x軸的負半軸上，函數y＝kx(x＜0)的圖象經過頂點B，則k的值為(C)
A．－12             B．－27               C．－32       D．－36
 
2．(河北模擬)如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x＋4與x軸、y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第二象限作正方形ABCD，點D在雙曲線y＝kx上，將正方形ABCD沿x軸正方向平移a個單位長度后，點C恰好落在此雙曲線上，則a的值是(B)
A．1             B．2         C．3          D．4
　　
3．(棗莊中考)如圖，反比例函數y＝2x的圖象經過矩形OABC的邊AB的中點D，則矩形OABC的面積為4．
 
4．(濰坊中考)正比例函數y1＝mx(m＞0)的圖象與反比例函數y2＝kx(k≠0)的圖象交于點A(n，4)和點B，AM⊥y軸，垂足為M，若△AMB的面積為8，則滿足y1>y2的實數x的取值范圍是－2＜x＜0或x＞2．
5．(紹興中考)在平面直角坐標系的第一象限內，邊長為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標軸，A點的坐標為(a，a)．如圖，若曲線y＝3x(x>0)與此正方形的邊有交點，則a的取值范圍是3≤a≤3＋1．
　　
6．如圖，在平面直角坐標系中，▱OABC的頂點A，C的坐標分別為A(2，0)，C(－1，2)，反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象經過點B.
(1)求k的值；
(2)將▱OABC沿x軸翻折，點C落在點C′處，判斷點C′是否在反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象上，請通過計算說明理由．
 
解：(1)∵四邊形OABC為平行四邊形，∴BC∥OA.
∵A(2，0)，C(－1，2)，∴B(1，2)．
將B(1，2)代入反比例函數解析式，得2＝k1，∴k＝2.
(2)點C′在反比例函數y＝kx的圖象上，理由如下：
∵▱OABC沿x軸翻折，點C落在點C′處，
∴C′點坐標是(－1，－2)．
∵反比例函數解析式為y＝2x，
當x＝－1時，y＝2－1＝－2，
∴點C′在反比例函數y＝2x的圖象上．

7.(蘇州中考)如圖，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x軸，垂足為A.反比例函數y＝kx(x>0)的圖象經過點C，交AB于點D.已知AB＝4，BC＝52.
(1)若OA＝4，求k的值；
(2)連接OC，若BD＝BC，求OC的長．
 
解：(1)作CE⊥AB，垂足為E.
∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2.
在Rt△BCE中，BC＝52，BE＝2，∴CE＝32.
∵OA＝4，∴點C的坐標為(52，2)．
∵點C在y＝kx的圖象上，∴k＝5.
(2)設A點的坐標為(m，0)，∵BD＝BC＝52，∴AD＝32.
∴D，C兩點的坐標分別為(m，32)，(m－32，2)．
∵點C，D都在y＝kx的圖象上，∴32m＝2(m－32)．∴m＝6.
∴點C的坐標為(92，2)．
作CF⊥x軸，垂足為F，∴OF＝92，CF＝2.
在Rt△OFC中，OC2＝OF2＋CF2，
∴OC＝972.

8．如圖，四邊形OABC是面積為4的正方形，函數y＝kx(x＞0)的圖象經過點B.
(1)求k的值；
(2)將正方形OABC分別沿直線AB，BC翻折 ，得到正方形MABC′，NA′BC.設線段MC′，NA′分別與函數y＝kx(x＞0)的圖象交于點E，F，求線段EF所在直線的解析式．
 
解：(1)∵四邊形OABC是面積為4的正方形，
∴OA＝OC＝2.
∴點B坐標為(2，2)．
∴k＝xy＝2×2＝4.
(2)∵正方形MABC′，
NA′BC是由正方形OABC翻折所得，
∴ON＝OM＝2OA＝4.
∴點E橫坐標為4，點F縱坐標為4.
∵點E，F在函數y＝4x的圖象上，
∴E(4，1)，F(1，4)．
設直線EF解析式為y＝mx＋n，將E，F兩點坐標代入，
得4m＋n＝1，m＋n＝4.解得m＝－1，n＝5.
∴直線EF的解析式為y＝－x＋5.

9．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為(4，2)．過點D(0，3)和E(6，0)的直線分別與AB，BC交于點M，N.
(1)求直線DE的解析式和點M的坐標；
(2)若反比例函數y＝mx(x＞0)的圖象經過點M，求該反比例函數的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數的圖象上；
(3)若反比例函數y＝mx(x＞0)的圖象與△MNB有公共點，請直接寫出m的取值范圍．
 
解：(1)設直線DE的解析式為y＝kx＋b，
∵點D，E的坐標分別為(0，3)，(6，0)，
∴3＝b，0＝6k＋b.解得k＝－12，b＝3.
∴直線DE的解析式為y＝－12x＋3.
由題意，令2＝－12x＋3.∴x＝2.∴M(2，2)．
(2)∵y＝mx(x＞0)經過點M(2，2)，∴m＝4.
∴反比例函數的解析式為y＝4x.
當x＝4時，y＝－12×4＋3＝1.
∴N(4，1)．
∵當x＝4時，y＝4x＝1，
∴點N在函數y＝4x的圖象上．
(3)4≤m≤8.

 
章末復習(一)　反比例函數
01　　基礎題
知識點1　反比例函數的概念
1．下列六個關系式：①x(y＋1)；②y＝2x＋2；③y＝1x2；④y＝－12x；⑤y＝－x2；⑥y＝23x.其中y是x的反比例函數的是(D)
A．①②③④⑥               B．③⑤⑥  
C．①②④                   D．④⑥
知識點2　反比例函數的圖象與性質
2．已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數y＝2 017x圖象上的點，若x1>0>x2，則(B)
A．y1>y2>0              B．y1>0>y2 
C．0>y1>y2              D．y2>0>y1
3．(連云港中考)姜老師給出一個函數表達式，甲、乙、丙三位同學分別正確指出了這個函數的一個性質．
甲：函數圖象經過第一象限；
乙：函數圖象經過第三象限；
丙：在每一個象限內，y值隨x值的增大而減小．
根據他們的描述，姜老師給出的這個函數表達式可能是(B)
A．y＝3x                    B．y＝3x
C．y＝－1x                  D．y＝x2
4．(河北中考)定義新運算：a?b＝ab（b>0），－ab（b<0）.例如：4?5＝45，4?(－5)＝45.則函數y＝2?x(x≠0)的圖象大致是(D)
 
知識點3　反比例函數與一次函數綜合
5．(廣安中考)若反比例函數y＝kx(k≠0)的圖象經過點(1，－3)，則一次函數y＝kx－k(k≠0)的圖象經過第一、二、四象限．
6．(內江中考)已知點A(－4，2)，B(n，－4)是一次函數y＝kx＋b和反比例函數y＝mx圖象的兩個交點．
(1)求一次函數和反比例函數的解析式；
(2)求△AOB的面積；
(3)觀察圖象，直接寫出不等式kx＋b－mx>0的解集．
 
解：(1)∵點A(－4，2)，B(n，－4)在反比例函數圖象上，
∴2＝m－4，n＝m－4.
∴m＝－8，n＝2.
∴B(2，－4)．
∵一次函數過點A，B，
∴2＝－4k＋b，－4＝2k＋b.∴k＝－1，b＝－2.
∴反比例函數：y＝－8x；一次函數：y＝－x－2.
(2)設函數y＝－x－2與y軸交于點C，則C(－2，0)，∴S△AOB＝S△ACO＋S△OCB＝12×2×2＋12×2×4＝6.
(3)x<－4或0<x<2.
知識點4　反比例函數的實際應用
7．張玲在玩QQ的某個游戲時，觀察幾位好友的信息發現：這個游戲等級數y與所得游戲豆x成反比例，已知這一游戲的最高級數為100級，且此時張玲某個好友的游戲等級為15，游戲豆為600個．張玲有這樣兩個疑問：
(1)能用一個含x的代數式表示出y嗎？
(2)張玲現在的等級數剛剛達到40級，試求她的游戲等級升級到最高級還需扣掉多少游戲豆？
解：(1)由于游戲等級數y與所得游戲豆x成反比例，可設y＝kx(x＞0)．
由題意知，當x＝600時，y＝15，則k＝xy＝600×15＝9 000.
∴y與x的函數解析式為y＝9 000x(x>0)．
(2)當等級數為40級，即y＝40時，把y＝40代入y＝9 000x，得x＝225.
當游戲等級升到最高級，即y＝100時，把y＝100代入y＝9 000x，得x＝90.
225－90＝135(個)．
答：張玲的游戲等級升到最高級還需扣掉135個游戲豆．

02　　中檔題
8．(龍巖中考)已知點P(a，b)是反比例函數y＝1x圖象上異于點(－1，－1)的一個動點，則11＋a＋11＋b＝(B)
A. 2             B．1                 C.32              D.12
9．(河北模擬)如圖，若點M是x軸正半軸上任意一點，過點M作PQ∥y軸，分別交函數y＝k1x(x＞0)和y＝k2x(x＞0)的圖象于點P和Q，連接OP和OQ.則下列結論正確的是(D)
A．∠POQ不可能等于90°
B.PMQM＝k1k2
C．這兩個函數的圖象一定關于x軸對稱
D．△POQ的面積是12(|k1|＋|k2|)
 
10．(紹興中考)如圖，Rt△ABC的兩個銳角頂點A，B在函數y＝kx(x>0)的圖象上，AC∥x軸，AC＝2.若點A的坐標為(2，2)，則點B的坐標為(4，1)．
　　　
11．(寧波中考)已知△ABC的三個頂點為A(－1，1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，將△ABC向右平移m(m>0)個單位長度后，△ABC某一邊的中點恰好落在反比例 函數y＝3x的圖象上，則m的值為52．
12．(邢臺縣一模)已知，如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數y＝32x的圖象經過點A，點A的縱坐標為6，反比例函數y＝mx的圖象也經過點A，第一象限內的點B在這個反比例函數的圖象上，過點B作BC∥x軸，交y軸于點C，且AC＝AB，求：
(1)這個反比例函數的解析式；
(2)直線AB(一次函數)的解析式．
 
解：(1)∵正比例函數y＝32x的圖象經過點A，點A的縱坐標為6，
∴6＝32x，解得x＝4，
∴點A的坐標為(4，6)．
∵反比例函數y＝mx的圖象經過點A，
∴m＝6×4＝24.
∴反比例函數的解析式為y＝24x.
(2)作AD⊥BC于D，∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BC＝2CD＝8.∴點B的坐標為(8，3)．
設直線AB的解析式為y＝kx＋b，
由題意，得4k＋b＝6，8k＋b＝3，解得k＝－34，b＝9.
∴直線AB的解析式為y＝－34x＋9.

03　　綜合題
13．(石家莊一模)小明家飲水機中原有水的溫度為20 ℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱[此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)滿足一次函數關系]，當加熱到100 ℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降[此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)成反比例關系]，當水溫降至20 ℃時，飲水機又自動開始加熱……，重復上述程序(如圖所示)，根據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)當0≤x≤8時，求水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數解析式；
(2)求圖中t的值；
(3)若小明在通電開機后即外出散步，請你預測小明散步45分鐘回到家時，飲水機內水的溫度約為多少？
 
解：(1)當0≤x≤8時，設水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數解析為y＝kx＋b，依據題意，得
b＝20，8k＋b＝100，解得k＝10，b＝20.
故此函數解析式為y＝10x＋20.
(2)在水溫下降過程中，設水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數解析式為y＝mx，
依據題意，得100＝m8，即m＝800.
∴y與x的函數解析式為y＝800x.
當y＝20時，20＝800t，即t＝40.
(3)∵45－40＝5≤8，
∴當x＝5時，y＝10×5＋20＝70.
答：小明散步45分鐘回到家時，飲水機內水的溫度約為70 ℃.