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來

2013中考全國100份試卷分類匯編
等腰直角三角形
1、（2013•衢州）將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3c的紙帶邊沿上．另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長為（　　）

　A．3cB．6cC． cD． c

考點：含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
分析：過另一個頂點C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊．
解答：解：過點C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6 ，
故選：D．

點評：此題考查的知識點是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關鍵是先由求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊．
2、（2013•內江）已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．求證：BD=AE．

考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．
專題：證明題．
分析：根據等腰直角三角形的性質可得AC=BC，CD=CE，再根據同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可證明．
解答：證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，以及等角的余角相等的性質，熟記各性質是解題的關鍵．

3、（2013•常德壓軸題）已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，是AF的中點，連接B、E．
（1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：B∥CF；
（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求B，E的長；
（3）如圖2，當∠BCE=45°時，求證：B=E．

考點：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．3718684
分析：（1）證法一：如答圖1a所示，延長AB交CF于點D，證明B為△ADF的中位線即可；
證法二：如答圖1b所示，延長B交EF于D，根據在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BA=∠DF，根據中點定義可得A=F，然后利用“角邊角”證明△AB和△FD全等，再根據全等三角形對應邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出∠EB=45°，從而得到∠EB=∠ECF，再根據同位角相等，兩直線平行證明B∥CF即可，
（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出B、E是兩條中位線；
解法二：先求出BE的長，再根據全等三角形對應邊相等可得B=D，根據等腰三角形三線合一的性質可得E⊥BD，求出△BE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求解即可；
（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出B、E是兩條中位線：B= DF，E= AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明B=E；
證法二：如答圖3b所示，延長B交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內角互補，兩直線平行求出AB∥CF，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BA=∠DF，根據中點定義可得A=F，然后利用“角邊角”證明△AB和△FD全等，再根據全等三角形對應邊相等可得AB=DF，B=D，再根據“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DE，全等三角形對應角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據等腰直角三角形的性質證明即可．
解答：（1）證法一：

如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴點B為線段AD的中點，
又∵點為線段AF的中點，
∴B為△ADF的中位線，
∴B∥CF．
證法二：

如答圖1b，延長B交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BA=∠DF，
∵是AF的中點，
∴A=F，
∵在△AB和△FD中，
，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE?BC，DE=EF?DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EB=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EB=∠ECF，
∴B∥CF；

（2）解法一：
如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD= a，
∴點B為AD中點，又點為AF中點，
∴B= DF．

分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF= a，
∴點E為FG中點，又點為AF中點，
∴E= AG．
∵CG=CF= a，CA=CD= a，
∴AG=DF= a，
∴B=E= × a= a．
解法二：
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE?CB=2a?a=a，
∵△AB≌△FD，
∴B=D，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BE是等腰直角三角形，
∴B=E= BE= a；

（3）證法一：
如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴點B為AD中點，又點為AF中點，∴B= DF．

延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴點E為FG中點，又點為AF中點，∴E= AG．
在△ACG與△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴B=E．
證法二：

如答圖3b，延長B交CF于D，連接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BA=∠DF，
∴是AF的中點，
∴A=F，
在△AB和△FD中，，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，B=D，
∴AB=BC=DF，
∵在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵B=D，
∴B=E= BD，
故B=E．
點評：本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
4、（2013•湖州）一節數學課后，老師布置了一道課后練習題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點O，點PD分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE．

（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：

根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程．
（2）特殊位置，證明結論
若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．
（3）知識遷移，探索新知
若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數量關系．（不必寫解答過程）

考點：全等三角形的判定與性質．
分析：（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據AAS證△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）設OP=CP=x，求出AP=3x，CD= x，即可得出答案．
解答：（1）證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO?∠1，∠4=∠2?∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．

（3）解：CD′與AP′的數量關系是CD′= AP′．
理由是：設OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，
則AP=2x+x=3x，
由（2）知BO=PE，
PE=2x，CE=2x?x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= x，
即AP=3x，CD= x，
∴CD′與AP′的數量關系是CD′= AP′
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質，等腰三角形性質等知識點的綜合應用，主要考查學生的推理和計算能力．

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2013年中考數學等腰直角三角形試題匯編

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