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2018-2019學年吉林省長春XX學校八年級（下）第一次月考數學試卷
　
一、選擇題（每題三分）
1．（3分）下列各式是分式的是（　　）
A．  B．  C．x+1 D．
2．（3分）若分式 無意義，則x的取值是（　�。�
A．x=2或x=?2 B．x=2 C．x=?2 D．x=0
3．（3分）如果把 中的x、y都擴大5倍，那么分式的值（　　）
A．擴大5倍 B．不變 C．縮小5倍 D．擴大4倍
4．（3分）把分式方程 ? =2化為整式方程正確的是（　�。�
A．1?x?2=2 B．1?（x?2）=2（x?1） C．1+（x?2）=2（x?1） D．1+（x?2）=2
5．（3分）已知一次函數y=mx+|m+1|的圖象與y軸交于點（0，3），且y隨x的增大而增大，則m的值為（　�。�
A．2 B．?4 C．?2或?4 D．2或?4
6．（3分）已知一次函數y=kx+k，其在直角坐標系中的圖象大體是（　�。�
A．  B．  C．  D．
7．（3分）如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果∠BAF=60°，則∠AEF=（　　）
 
A．60° B．70° C．75° D．80°
8．（3分）某工廠計劃每天生產x噸生產資料，采用新技術后每天多生產3噸，實際生產180噸與原計劃生產120噸的時間相等，那么適合x的方程是（　　）
A．  B．  C．  D．
　
二、填空題（每題3分）
9．（3分）若分式 的值為0，則x=　   �。�
10．（3分）在顯微鏡下一個球形細菌的直徑是0.0000053米，則用科學記數法可表示為　   　米．
11．（3分）若關于x的方程 有增根，則a=　   �。�
12．（3分）平面直角坐標系中一點P（m?3，1?2m）在第三象限，則m的取值范圍是　   �。�
13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB=5，BD=6，則菱形ABCD的面積是　   �。�
 
14．（3分）已知一次函數y=2x+b的圖象與坐標軸圍成一個三角形，這個三角形的面積是4，則b的值是　   �。�
　
三、解答題
15．（12分）計算：
（1）            
（2） 
（3）                  
（4） +
16．（8分）解下列方程：
（1） =                   
（2）
17．（6分）先化簡  ? ，且在?3，0，1，2中選擇一個數代入求值．
18．（6分）已知一次函數y=kx+b的圖象與y=3x的圖象平行，且經過點（?1，1），求這個一次函數的關系式，并求當x=5時，對應函數y的值．
19．（8分）某校舉行書法比賽，為獎勵優勝學生，購買了一些鋼筆和毛筆，毛筆單價是鋼筆單價的1.5倍，購買鋼筆用了1500元，購買毛筆用了1800元，購買的鋼筆支數比毛筆多30支，鋼筆、毛筆的單價分別為多少元？
20．（8分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）如果AB=AC，試猜測四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．
 
21．（8分）已知方程x+ =2+ 的解是x1=2，x2=
方程x+ =3+ 的解是x1=3，x2=
方程x+ =4+ 的解是x1=4，x2=  ……
觀察上述方程及方程的解，回答下列問題：
（1）關于x的方程x+ =a+ 的解是什么？并用方程解的概念驗證你的猜想是否正確；
（2）根據結論求出關于x的方程x+ =b+ 的解．
22．（10分）某化妝品公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案：
方案一：沒有底薪，只拿銷售提成；
方案二：底薪加銷售提成．；
設x（件）是銷售商品的數量，y（元）是銷售人員的月工資． 如右圖所示，y1為方案一的函數圖象，y2為方案二的函數圖象．從圖中信息解答如下問題）：
（1）方案一每件商品提成是　   　元；
方案二每件商品提成是　   　元；
（2）求y1和y2的函數關系式；
（3）如果該公司銷售人員小麗這個月銷售了60件的商品，那么她采用哪種方案獲得的報酬會更多一些？
 
23．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線BE⊥x軸，交x軸與點D，點D坐標是（?4，0）直線y=? x?1與x軸和直線BE交于點C、E，點A在y軸上，且坐標為（0，m），且（m＞0），連接AC，交直線BE于點B．
（1）當m=4時，求直線AC的函數表達式及C、B坐標；
（2）當m為何值時，△ACO≌△FCO，并說明理由；
（3）若S四邊形DEFO=S△CDB，則點A坐標是多少？
 
　
 

2018-2019學年吉林省長春外國語學校八年級（下）第一次月考數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每題三分）
1．（3分）下列各式是分式的是（　�。�
A．  B．  C．x+1 D．
【考點】61：分式的定義．
【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【解答】解：A、 分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式．故本選項錯誤；
B、 的分母中含有字母，因此它是分式．故本選項正確；
C、x+1的分母中均不含有字母，因此它是整式，而不是分式．故本選項錯誤；
D、 的分母中均不含有字母，因此它是整式，而不是分式．故本選項錯誤；
故選：B．
【點評】本題主要考查分式的概念，分式與整式的區別主要在于：分母中是否含有未知數．
　
2．（3分）若分式 無意義，則x的取值是（　�。�
A．x=2或x=?2 B．x=2 C．x=?2 D．x=0
【考點】62：分式有意義的條件．
【分析】當分母為0時分式無意義，令x2?4=0即可求出x．
【解答】解：分式無意義，則可知x2?4=0，解得x=±2；
故選：A．
【點評】考查了分式有意義的條件．分式有意義的條件是分母不等于零；分式無意義的條件是分母等于零．
　
3．（3分）如果把 中的x、y都擴大5倍，那么分式的值（　　）
A．擴大5倍 B．不變 C．縮小5倍 D．擴大4倍
【考點】65：分式的基本性質．
【分析】把x，y分別換為5x，5y，化簡后即可作出判斷．
【解答】解：根據題意得：  = ，
則分式的值不變，
故選：B．
【點評】此題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解本題的關鍵．
　
4．（3分）把分式方程 ? =2化為整式方程正確的是（　　）
A．1?x?2=2 B．1?（x?2）=2（x?1） C．1+（x?2）=2（x?1） D．1+（x?2）=2
【考點】B3：解分式方程．
【分析】方程兩邊都乘以x?1即可得．
【解答】解：方程兩邊都乘以x?1，得：1+（x?2）=2（x?1），
故選：C．
【點評】本題主要考查解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的基本步驟．
　
5．（3分）已知一次函數y=mx+|m+1|的圖象與y軸交于點（0，3），且y隨x的增大而增大，則m的值為（　�。�
A．2 B．?4 C．?2或?4 D．2或?4
【考點】F5：一次函數的性質；F8：一次函數圖象上點的坐標特征．
【分析】根據一次函數的性質求解．
【解答】解：∵一次函數y=mx+|m+1|的圖象與y軸交于點（0，3），且y隨x的增大而增大，∴m＞0，|m+1|＞0，
把點（0，3）代入y=mx+|m+1|得：3=|m+1|=m+1，m=2．
故選：A．
【點評】一次函數y=kx+b的圖象有四種情況：
①當k＞0，b＞0，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大；
②當k＞0，b＜0，函數y=kx+b的圖象經過第一、三、四象限，y的值隨x的值增大而增大；
③當k＜0，b＞0時，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、四象限，y的值隨x的值增大而減��；
④當k＜0，b＜0時，函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，y的值隨x的值增大而減小．
　
6．（3分）已知一次函數y=kx+k，其在直角坐標系中的圖象大體是（　　）
A．  B．  C．  D．
【考點】F3：一次函數的圖象．
【分析】函數的解析式可化為y=K（x+1），易得其圖象與x軸的交點為（?1，0），分析選項可得答案．
【解答】解：函數的解析式可化為y=K（x+1），
即函數圖象與x軸的交點為（?1，0），
分析可得，A符合，
故選：A．
【點評】本題考查一次函數的圖象，要求學生掌握通過解析判斷其圖象與坐標軸的交點位置、坐標．
　
7．（3分）如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果∠BAF=60°，則∠AEF=（　　）
 
A．60° B．70° C．75° D．80°
【考點】LB：矩形的性質．
【分析】根據矩形的性質，求出∠EAF=15°，從而得出∠AEF的度數即可．
【解答】解：∵∠EAF是∠DAE折疊而成，
∴∠EAF=∠DAE，∠ADC=∠AFE=90°，∠EAF= = =15°，
在△AEF中∠AFE=90°，∠EAF=15°，
∠AEF=180°?∠AFE?∠EAF=180°?90°?15°=75°．
故選：C．
【點評】本題考查了矩形的性質，圖形的折疊實際上相當于把折疊部分沿著折痕所在直線作軸對稱，所以折疊前后的兩個圖形是全等三角形，復合的部分就是對應量．
　
8．（3分）某工廠計劃每天生產x噸生產資料，采用新技術后每天多生產3噸，實際生產180噸與原計劃生產120噸的時間相等，那么適合x的方程是（　�。�
A．  B．  C．  D．
【考點】B6：由實際問題抽象出分式方程．
【分析】根據實際生產180噸與原計劃生產120噸的時間相等，可以建立方程，從而可以得到哪個選項是正確的．
【解答】解：由題意可得，
 = ，
故選：C．
【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解題的關鍵是明確題意，找出題目中的等量關系，列出方程．
　
二、填空題（每題3分）
9．（3分）若分式 的值為0，則x=　2�。�
【考點】63：分式的值為零的條件．
【分析】分式值為零的條件：分子等于零且分母不等于零，所以 ，據此求出x的值是多少即可．
【解答】解：∵分式 的值為0，
∴
解得x=2．
故答案為：2．
【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．
　
10．（3分）在顯微鏡下一個球形細菌的直徑是0.0000053米，則用科學記數法可表示為　5.3×10?6　米．
【考點】1J：科學記數法—表示較小的數．
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10?n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解答】解：0.0000053米，則用科學記數法可表示為5.3×10?6米．
故答案為：5.3×10?6．
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10?n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
　
11．（3分）若關于x的方程 有增根，則a=　1�。�
【考點】B5：分式方程的增根．
【分析】增根是化為整式方程后產生的不適合分式方程的根．所以應先確定增根的可能值，讓最簡公分母x?2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出未知字母的值．
【解答】解；方程兩邊都乘（x?2），得
a=x?1?3（x?2），
∵原方程有增根，
∴最簡公分母x?2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程，得a=1．
故答案為1．
【點評】本題考查了分式方程的增根問題，對于此問題可按如下步驟進行：
①讓最簡公分母為0，確定增根；
②化分式方程為整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
　
12．（3分）平面直角坐標系中一點P（m?3，1?2m）在第三象限，則m的取值范圍是　0.5＜m＜3　．
【考點】CB：解一元一次不等式組；D1：點的坐標．
【分析】根據第三象限內點的橫坐標與縱坐標都是負數列式不等式組，然后求解即可．
【解答】解：∵點P（m?3，1?2m）在第三象限，
∴ ，
解得：0.5＜m＜3，
故答案為：0.5＜m＜3
【點評】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征以及解不等式，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（?，+）；第三象限（?，?）；第四象限（+，?）．
　
13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB=5，BD=6，則菱形ABCD的面積是　24　．
 
【考點】L8：菱形的性質．
【分析】根據菱形的對角線互相垂直，利用勾股定理列式求出OA，再根據菱形的對角線互相平分求出AC、BD，然后利用菱形的面積等于對角線乘積的一半列式進行計算即可得解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
根據勾股定理，得：OA= ，
∴AC=2OA=8，
∴S菱形ABCD= ×AC×BD= ×6×8=24．
故答案為：24
 
【點評】本題考查了菱形的周長公式，菱形的對角線互相垂直平分線的性質，勾股定理的應用，比較簡單，熟記性質是解題的關鍵．
　
14．（3分）已知一次函數y=2x+b的圖象與坐標軸圍成一個三角形，這個三角形的面積是4，則b的值是　±4�。�
【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征．
【分析】利用一次函數y=2x+b的圖象與x軸交點和與y軸交點的特點求出坐標，以及圖象與坐標軸所圍成的三角形是直角三角形求解．
【解答】解：當y=0時，0=2x+b，
∴x=? ；
當x=0時，y=b，
∴一次函數y=2x+b的圖象與坐標軸所圍成的三角形面積： ×|? |×|b|=4，
解得b=±4，
故答案為：±4
【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，本題利用了直線與x軸的交點的縱坐標為0，直線與y軸的交點的橫坐標為0求解．
　
三、解答題
15．（12分）計算：
（1）            
（2） 
（3）                  
（4） +
【考點】6C：分式的混合運算．
【分析】（1）根據分式的除法可以解答本題；
（2）根據冪的乘方和分式乘法可以解答本題；
（3）根據分式的除法可以解答本題；
（4）根據分式的加法可以解答本題．
【解答】解：（1）  
=
= ；        
（2） 
=
= ；
（3）   
=
= ；              
（4） +
=
=
=
=
= ．
【點評】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確分式的混合運算的計算方法．
　
16．（8分）解下列方程：
（1） =                   
（2）
【考點】B3：解分式方程．
【分析】（1）先把分式方程轉化成整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可；
（2）先把分式方程轉化成整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可．
【解答】解：（1）方程兩邊乘以（x+1）（2x?1）得：2（2x?1）=5（x+1），
解得：x=?7，
檢驗：當x=?7時，（x+1）（2x?1）≠0，
即x=?7是原方程的解，
所以原方程的解為x=?7；

（2）方程兩邊乘以x?2得：1?x=?1?2（x?2），
解得：x=2，
檢驗：當x=2時，x?2=0，
即x=2不是原方程的解，
所以原方程無解．
【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．
　
17．（6分）先化簡  ? ，且在?3，0，1，2中選擇一個數代入求值．
【考點】6D：分式的化簡求值．
【分析】將分子、分母因式分解后約分，再通分、計算分式的減法，繼而約分即可化簡原式，最后選取使分式有意義的x的值代入計算可得．
【解答】解：原式= • ?
= ?
=
=? ，
當x=1時，原式=?1．
【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．
　
18．（6分）已知一次函數y=kx+b的圖象與y=3x的圖象平行，且經過點（?1，1），求這個一次函數的關系式，并求當x=5時，對應函數y的值．
【考點】FF：兩條直線相交或平行問題．
【分析】根據兩平行直線的解析式的k值相等求出k，然后把經過的點的坐標代入解析式計算求出b值，即可得解．
【解答】解：∵一次函數y=kx+b的圖象平行于直線y=3x，
∴k=3，
∴y=3x+b
把點（?1，1）代入得，3=?1×3+b，
解得b=6，
所以，一次函數的解析式為，y=3x+6，
當x=5時，y=3×5+6=21．
【點評】本題考查了兩直線平行的問題，根據平行直線解析式的k值相等求出k值是解題的關鍵，也是本題的突破口．
　
19．（8分）某校舉行書法比賽，為獎勵優勝學生，購買了一些鋼筆和毛筆，毛筆單價是鋼筆單價的1.5倍，購買鋼筆用了1500元，購買毛筆用了1800元，購買的鋼筆支數比毛筆多30支，鋼筆、毛筆的單價分別為多少元？
【考點】B7：分式方程的應用．
【分析】首先設鋼筆單價x元/支，則毛筆單價1.5x元/支，根據題意可得：1500元購買的鋼筆數量?1800元購買的毛筆數量=30支，根據等量關系列出方程，再解即可．
【解答】解：設鋼筆單價x元/支，由題意得：
 ? =30，
解得：x=10，
經檢驗：x=10是原分式方程的解，
1.5x=1.5×10=15．
答：鋼筆、毛筆的單價分別為10元，15元．
【點評】此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．
　
20．（8分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）如果AB=AC，試猜測四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．
 
【考點】L7：平行四邊形的判定與性質；KD：全等三角形的判定與性質．
【分析】（1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，所以AF=DC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）利用等腰三角形的性質以及矩形的判定得出即可；
【解答】（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，
 ，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）四邊形ADCF為矩形；
理由：連接AB，
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°
∴平行四邊形AFCD為矩形
 
【點評】此題主要考查了矩形的判定和全等三角形的判定等知識，利用了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，矩形的判定是解題關鍵．
　
21．（8分）已知方程x+ =2+ 的解是x1=2，x2=
方程x+ =3+ 的解是x1=3，x2=
方程x+ =4+ 的解是x1=4，x2=  ……
觀察上述方程及方程的解，回答下列問題：
（1）關于x的方程x+ =a+ 的解是什么？并用方程解的概念驗證你的猜想是否正確；
（2）根據結論求出關于x的方程x+ =b+ 的解．
【考點】B3：解分式方程．
【分析】（1）本題可根據給出的方程的解的概念，來求出所求的方程的解．
（2）本題要求的方程和題目給出的例子中的方程形式不一致，可先將所求的方程進行變形．變成式子中的形式后再根據給出的規律進行求解．
【解答】解：（1）根據題意知x=a或x= ，
當x=a時，左邊=a+ =右邊，
所以x=a是分式方程的解；
當x= 時，左邊= + = +a=右邊，
所以x= 是分式方程的解；
綜上，x=a或x= 是分式方程的解；

（2）∵x+ =b+ ，
∴x?3+ =b?3+ ，
則x?3=b?3或x?3= ，
解得：x=b或x= ．
【點評】本題考查了分式方程的解，要注意給出的例子中的方程與解的規律，還要注意套用列子中的規律時，要保證所求方程與例子中的方程的形式一致．
　
22．（10分）某化妝品公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案：
方案一：沒有底薪，只拿銷售提成；
方案二：底薪加銷售提成．；
設x（件）是銷售商品的數量，y（元）是銷售人員的月工資． 如右圖所示，y1為方案一的函數圖象，y2為方案二的函數圖象．從圖中信息解答如下問題）：
（1）方案一每件商品提成是　14　元；
方案二每件商品提成是　7　元；
（2）求y1和y2的函數關系式；
（3）如果該公司銷售人員小麗這個月銷售了60件的商品，那么她采用哪種方案獲得的報酬會更多一些？
 
【考點】FH：一次函數的應用．
【分析】（1）根據題意和函數圖象可以求得方案一和方案二的每件商品提成；
（2）根據函數圖象中的數據可以求得y1和y2的函數關系式；
（3）根據（2）中的函數解析式可以分別求得兩種方案的報酬，然后比較大小即可解答本題．
【解答】解：（1）由圖象可得，
方案一每件商品提成是：420÷30=14（元），
方案二每件商品提成是：（560?350）÷30=7（元），
故答案為：14，7；
（2）設y1與x的函數關系式是y1=kx，
30k=420，得k=14，
即y1與x的函數關系式是y1=14x，
設y2與x的函數關系式是y2=ax+b，
 ，得 ，
即y2與x的函數關系式是y2=7x+350；
（3）當x=60時，
y1=14×60=840，
y2=7×60+350=770，
∵840＞770，
∴她采用方案一獲得的報酬會更多一些．
【點評】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的函數解析式，利用函數的性質解答．
　
23．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線BE⊥x軸，交x軸與點D，點D坐標是（?4，0）直線y=? x?1與x軸和直線BE交于點C、E，點A在y軸上，且坐標為（0，m），且（m＞0），連接AC，交直線BE于點B．
（1）當m=4時，求直線AC的函數表達式及C、B坐標；
（2）當m為何值時，△ACO≌△FCO，并說明理由；
（3）若S四邊形DEFO=S△CDB，則點A坐標是多少？
 
【考點】FI：一次函數綜合題．
【分析】（1）利用待定系數法求出直線AC的解析式，根據坐標軸上點的坐標特征求出C、B坐標；
（2）根據一次函數解析式求出點F的坐標，得到OF的長，根據全等三角形的性質解答；
（3）根據相似三角形的性質求出DE，根據梯形面積公式求出S四邊形DEFO，根據題意列出算式，計算即可．
【解答】解：（1）對于直線y=? x?1，
當y=0時，0=? x?1，
解得，x=?8，
則點C的坐標為（?8，0），
當m=4時，點A坐標為（0，4），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，
則 ，
解得，k= ，b=4，
則直線AC的解析式為：y= x+4，
直線AC交直線BE于點B，點D坐標是（?4，0），直線BE⊥x軸，
當x=?4時，y=2，
∴點B的坐標為（?4，2）；
（2）當x=0時，y=? x?1=?1，
∴點F的坐標為（0，?1），即OF=1，
當△ACO≌△FCO時，OA=OF=1，
∴m=1；
（3）∵DE∥OF，CD=DO，
∴DE= OF= ，
∴S四邊形DEFO= ×（ +1）×4=3，
由題意得， ×BD×4=3，
解得，BD= ，
∵BD∥OA，CD=DO，
∴AO=2BD=3，
∴m=3，即點A坐標是（0，3）．
【點評】本題考查的是一次函數的知識、相似三角形的判定和性質，掌握待定系數法求一次函數解析式的一般步驟是解題的關鍵．