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第八章 機械振動
第一課時知識梳理
一、考點內容與要求
內 容要求說明
彈簧振子，簡諧運動，簡諧運動的振幅、周期和頻率，簡諧運動的位移―時間圖象
單擺，在小振幅條件下單擺做簡諧運動，周期公式
振動中的能量轉化
自由振動和受迫振動，受迫振動的振動頻率，共振及其常見的應用Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
二、知識結構 定義:生產振動的兩個必要條件
描述振動的物理量:振幅A,頻率f,周期T。
特征：F回=-kx或a=
周期：T=2π
圖象：正弦（或余弦）曲線
能量轉化：機械能守恒
彈簧振子：T=2π
單擺：T=2π
振動頻率=策動力頻率
共振條件：
分組實驗：用單擺測定重力加速度
三、本章知識考查特點及高考命題趨勢 從近五年來的高考試題來看，直接考查本考點的題目不多，尤其是在綜合能力測試中，由于題目的數量和類型的限制，涉及的更小，更多的是在物理單科的測試中，出現了考查振動圖像和振動模型的題目。題型多以選擇題，填空題等形式出現。
預計單獨考查振動圖像和振動模型的可能性不大，更多的會與波的圖像結合在一起出題，或以振動的物體為物理情景對綜合能力的知識進行考查。但也不排除高考中可能出現再次對單擺的周期公式的應用，對振動圖像的理解類的題目。
總之，振動問題要求雖不是很高，但題目內容比較瑣碎，復習中要強調細致全面，力求做到切實理解，取得實效。
四、課后練習
1、物體在 附近所做的 運動，叫做機械振動，通常簡稱為振動。力的方向跟振子偏離 的位移方向相反，總指向 ，它的作用是使振子能返回 ，所以叫做回復力。
2、胡克定律：在彈簧發生彈性形變時，彈簧振子的 跟振子偏離 的位移成正比，這個關系在物理學中叫做胡克定律，通常用公式表示為 ，式中的常數叫做 系數，簡稱 。
3、簡諧運動：物體在跟偏離平衡位置的 成正比，并且總指向平衡位置的 作用下的振動，叫做簡諧運動。
4、振幅：振動物體離開平衡位置的 距離，叫做振動的振幅。做簡諧運動的物體完成一次
所需要的時間，叫做振動的周期，在國際單位制中，周期的單位是 。單位時間內完成的全振動的 ，叫做振動的頻率，在國際單位制中，頻率的單位是 ，簡稱 ，符號是 。
5、簡諧運動的周期和頻率由振動系統 的性質所決定，與振動的 無關，因此又稱為振動系統的固有周期和固有頻率。
6、簡諧運動的 圖象通常稱為振動圖象，也叫振動曲線。理論和實驗都證明，所有簡諧運動的振動圖象都是 或 曲線。
7、如果懸掛小球的細線的 和 可以忽略，線長又比球的 大得多，這樣的裝置叫做單擺，單擺是實際單擺的 的物理模型。在 很小的情況下，單擺所受的 與偏離平衡位置的 成正比而 相反，單擺做簡諧運動。
8、荷蘭物理學家 研究了單擺的振動，發現單擺做簡諧運動的周期跟 的二次方根成正式，跟 二次方根成反比，跟 、擺球的 無關，并且確定了如下的單擺周期公 。
9、簡諧運動的能量：對簡諧運動來說，一旦供給振動系統一定的能量，使它開始振動，由于 守恒，它就以一定的 永不停息的振動下去，簡諧運動是一種理想化的振動，實際的振動系統不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到 的作用，系統克服 的作用做功，系統的機械能就要 振動的振幅也逐漸 ，直到最后振動就停下來了，這種 逐漸減小的振動，叫做阻尼振動。
10、用周期性的外力作用于實際的振動系統，使系統持續的振動下去，這種周期性的外力叫做 ，物體在外界 作用下的振動叫做受迫振動，物體做受迫振動時，振動穩定后的頻率等于 的頻率， 跟物體的 頻率沒有關系。 的頻率接近物體的 頻率時，受迫振動的 增大，這種現象叫做共振,聲音在共振現象通常叫做
。
11、彈簧振子和單擺的周期：
彈簧振子和單擺的運動都屬于 ，但它們的周期關系式有很大的區別，彈簧振子的周期公式為 即其周期只取決于彈簧的
和振子的 與其振動的 ，放置的 無關；單擺的周期公式為 ，即其周期只取決于單擺的 和當地的 ，與擺球的 、擺動的 無關，另外需要特別注意的是公式中g 值應為 ，與單擺所處的
有關。
第二課時 機械振動及其圖象
一、 考點理解
（一）機械振動
1、械振動
（1）定義：物體（或物體的一部分）在平衡位置附近所做的往復運動，叫做機械振動。
（2）產生振動的必要條件：①有回復力存在；②阻力足夠小。
（3）回復力的特點
回復力是使物體回到平衡位置的力，它是按力的作用效果命名的，回復力可能是一個力，也可能是一個力的分力，還可能是幾個力的合力。回復力的方向始終指向平衡位置，回復力是周期性變化的力。
2、描述振動的物理量
（1）全振動
振動物體的運動狀態由振動物體的速度來表征。確定的速度大小和速度方向表征確定的運動狀態。振動質點經過一次全振動后其振動狀態又恢復到原來的狀態。實際上，經過一次全振動后不但振動物體的速度大小和方向回復到原來的狀態，振動物體的加速度大小和方向、振動物體的位移大小和方向也恢復到原來的狀態。
（2）位稱 ：由平衡位置指向振動質點所在位置的有向線段，是矢量,其最大值等于振幅。
（３）振幅
　即振動質點離開平衡位置的最大距離，常用符號Ａ表示。振幅是標量，是表示質點振動強弱的物理量。
（４）周期
　即振動質點經過一次全振動所需的時間，常用符號Ｔ表示。周期是表示質點振動快慢的物理量。簡諧運動的周期與振幅無關。
（５）頻率
　即一秒鐘內振動質點完成全振動的次數，常用符號f來表示。周期和頻率的關系是：f＝ ，因此，頻率同樣是描述質點振動快慢的物理量。
　３、簡諧運動
（1）物體在跟位移大小成正比，并且總是指向平衡位置的力作用下的振動叫簡諧運動。
（2）回復力F和加速度a與位移x的關系：
F=- , a=
注意：①“―”號表示回復力的方向與位移方向相反，即總是指向平衡位置。
②k是比例系數，不能理解成一定是彈簧的勁度系數，只有彈簧振子，才等于勁度系數。
③判斷一個振動是否為簡諧運動，可從兩方向考慮；a.回復力大小與位移大小成正比。
b.回復力方向與位移方向相反
④機械振動不一定是簡諧運動，簡諧運動是最簡單、最基本的振動。
（3）簡諧運動的位移 、回復力F、加速度a、速度υ都隨時間做正弦（或余弦）式周期性變化，變化周期為T；振子的動能Ek、系統的勢能Ep也做周期性變化，周期為 ，但總機械能守恒。
（4）簡諧運動的過程特點
物體
位置位移
回復力F加速度a
方向大小方向大小方向大小
平衡位置O零零零
最大位移處M由O指向MA由M指向OkA由M指向O
O→M由O指向M零→A由M指向O零→kA由M指向O零→
M→O由O指向MA→零由M指向OkA→零由M指向O →零
物體
位置速度υ勢 能
動 能
方向大小
平衡位置O
零
最大位移處M零
零
O→M由O
向M →零
零→
→零
M→O由M
指向O零→
→零
零→
（5）簡諧運動的對稱性、多解性
①簡諧運動的多解性：做簡諧運動的質點，在
運動上是一個變加速度的運動,質點運動相同的路程所需的時間不一定相同；它是一個周期性的運動，若運動的時間與周期的關系存在整數倍的關系，則質點運動的路程就不會是唯一的。若是運動時間為周期的一半，運動的路程具有唯一性，若不是具備以上條件，質點運動的路程也是多解的，這是必須要注意的。
②簡諧運動的對稱性：做簡運動的質點，在距平
衡位置等距離的兩點上時，具有大小相等的速度和加速度，在O點左右相等的距離上的運動時間也是相同的。
（二）簡諧運動的圖象
（１）簡諧運動的圖象的物理意義
　　簡諧運動的圖象表示運動物體的位移隨時間變化的規律，而不是運動質點的運動軌跡。
　　（２）簡諧運動的圖象的特點所有簡諧運動的振動圖象都是正弦（或余弦）曲線。
（３）簡諧運動的圖象的
作圖法
用橫軸表示時間，縱軸
表示位移，根據實際數據定
出坐標單位及單位長度，根據振動質點各個時刻的位移
大小和方向畫出一系列的點，
再用平滑的曲線連接這些點，得到周期性變化的正弦（或余弦）曲線。如右上圖所示。
（4）簡諧運動的圖象的應用
①從振動圖象可直接讀出振幅A、周期T及某時刻t對應的位移 。
②判定質點在某時刻t的 、a、F的方向。
③判定某段時間內振動物體的 、a、F的大小變化及動能、勢能的變化情況。
二、方法講解 １、計算簡諧運動路程的4倍振幅法
做簡諧運動的質點在振動時間為△t= （n=1、2、3……）內，質點振動通過的路程為S為：
S=4. A（A為振幅）
２、根據簡諧運動圖象分析簡諧運動的情況的基本方法。
簡諧運動圖象能夠反映簡諧運動的規律，因此將簡諧運動圖象跟具體的運動過程聯系起來是討論簡諧運動的一種好方法。
（1）從簡諧運動圖象可以直接讀出不同
時刻t的位移值，從而知道位移 隨時間t的變化情況。
（2）在簡諧運動圖象中，用做曲線上某點切線的辦法可確定各時刻質點的速度大小和方向，切線與 軸正方向夾角小于90時，速度與選定的正方向相同，且夾角越大表明此時速度越大。當切線與x軸正方向的夾角大于90時，速度方向與選定的正方向相反，且夾角越大，表明此時的速度越小。
（3）由于a=- x，故可根據圖象上各個時刻的位移變化情況確定質點加速度的變化情況，同樣，只要知道了位移和速度的變化情況，也就不難判斷出質點在不同時刻的動能和勢能的變化情況。
三、考點應用 例1：一彈簧振子做簡諧運動，周期為T，則下
列說法正確的是（ ）
Ａ、若t時刻和（t+ t）時刻振子運動位移的大小相等，方向相同，則 一定等于Ｔ的整倍數
Ｂ、若t時刻和（t+ t）時刻振子運動速度的大小相等，方向相反，則 t一定等于 的整倍數
Ｃ、若 t＝Ｔ，則在t時刻和（t+ ）時刻振子運動的加速度一定相等
Ｄ、若 t＝ ，則在t時刻和（t+ ）時刻彈簧的長度一定相等
分析：根據題意，畫出示意圖，如下圖對選項A，只能說明這兩個時刻振子位于同一位置，設為P，并不能說明這兩個時刻振子的運動方向一定相同， t可以是振子由P向B再回到P的時間，故認為 t一定等于T的整數倍是錯誤的。
對選項B，振子兩次到P的位置時可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定 t等于 的整數倍，選項B也是錯誤的。
在相隔一個周期T的兩個時刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，選項C是正桷的。
相隔 的兩個時刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置可位于 處，如上圖所示，在P處彈簧處于伸長狀態，在 處彈簧處于壓縮狀態，彈簧長度并不相等，選項D是錯誤的。
答案：C
點評：做簡諧運動的彈簧振子的運動具有往復性、對稱性和周期性，正確理解彈簧振子做簡諧運動過程的特點，是判斷此類問題的關鍵。
例2：如右圖所示，質量為m的物體放在彈簧上，彈簧在豎直方向做簡諧運動，當振幅為A時，物體對彈簧的壓力最大值是物重的1.5倍，則物體對彈簧的最小壓力是 ，欲使物體在彈簧的振動中不離開彈簧，其振幅不能超過 。
分析：本題中彈簧的彈力與重力的合力充當回復力，注意應用簡諧運動的對稱性進行分析求解。
解答：彈簧的彈力與重力的合力充當物體做簡諧運動的回復力F。在振動的最低點處，物體對彈簧壓力最大為 =1.5mg，設向下為正方向，對物體有：F1=mg- =- A；在振動的最高點處，物體對彈簧壓力最小為 ，有 =m g- = A則 =m g- A=2mg- =0.5mg。
物體振動到最高點處，若剛好不脫離彈簧，則對彈簧壓力為零，重力成為回復力，有F=mg= ,又F=mg- = A,即F=0.5mg= A，得 =2A。
答案：0.5mg；2A。
點評：在振動的最低點處向上的合力最大，加速度向上，物體處于超重狀態，且加速度最大，所以物體對彈簧的壓力最大。同理，在最高點時合力向下，加速度向下最大，且失重，所以壓力最小。
振動到最高處剛好不脫離，則彈簧為原長。
例3：把彈簧振子的小球拉離平衡位置后輕輕釋放，小球便在其平衡位置兩側做簡諧運動，若以 表示小球被拉平衡位置的距離，則（ ）。
A、小球回到平衡位置所需的時間隨 的增大而增大
B、小球回到平衡位置所需的時間與 無關
C、小球經過平衡位置時的速度隨 的增大而增大
D、小球經過平衡位置時的加速度隨 的增大而增大
分析：彈簧振子做簡諧運動的周期T等于該裝置的固有周期，只由振子的質量和回復力系數決定，與其他因素無關，從最大位移處回到平衡位置需要 時間，不隨 而改變，選項A錯誤，B正確。彈簧振子做簡諧運動時機械能守恒， 越大，系統彈性勢能越大，到達平衡位置時動能也越大，速度也越大，選項C正確，在平衡位置時回復力為零，加速度為零，選項D錯誤。
答案：BC
點評：小球拉離平衡位置的距離等于振幅的大小，本題振幅A= ，彈簧振子的固有周期與振幅無關。
例4：某質點做簡諧運動的圖象如右圖所示，那么在t、t、t、t時刻，質點動量相同的時刻是 ，動能相同的時刻是 ，加速度相同的時是 。
分析：利用簡諧運動圖象的物理意義分析求解。
解答：由于四個時刻位移大小均為a ,則四個位置關于平衡位置對稱，質點在四個時刻速度大小相同，四個時刻的動能相同；t與t時刻質點都沿x軸正方向運動，則t1與t4時刻動量相同；t2和t3時刻質點都沿x軸負方向運動，則t與t時刻動量也相同； 和t時刻及t和t時刻的位移都分別相同，則 和t時刻加速度相同，t與t時刻加速度相同，但 和 時刻的加速度與t和t時刻加速度大小相等，方向相反。
所以，動量相同的時刻為t與t或t與t；動能相同的時刻為t、t、t和t；加速度相同的時刻為t、t（或t、t）。
點評：簡諧運動圖象上偏離平衡位置位移大小相同的點，振動物體具有相同的動能和勢能，所受回復力和加速度的大小也相同。對于簡諧運動圖象題，要注意利用圖象的特點進行分析。
四、課后練習
1、（2003?臨汾）如右圖所示，是一彈簧振子，設向右方向為正，O為平衡位置，則（ ）
A、A→O時，位移為負值，加
速度為負值
B、O→B時，位移為正值，加
速度為負值
C、B→O時，位移為負值，速度為負值
D、O→A時，位移為負值，加速度為正值
2、（2004?天律）如右圖所示，一輕彈簧與質量為m的物體組成彈簧振子，物體在同一條豎直線上的A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，C為AO的中點，已知OC=h，振子的周期為T，某時刻物體恰經過C點并向上運動，則從此時刻開始的半個周期時間內（ ）
A、重力做功2mgh
B、重力的沖量大小為
C、回復力做功為零
D、回復力的沖量為零
3、（2004?天津）公路上勻速行駛的貨車受一擾動，車上貨物隨車廂底板上下振動但不脫離底板。一段時間內貨物在豎直方向的振動可視為簡諧運動，周期為T，取豎直向上為正方向，以某時刻作為計時起點，即t=0，其振動圖象如右圖所示。則（ ）
A、t= T時，貨物對車廂底板的壓力最大
B、t= T時，貨物對車廂底板的壓力最小
C、t= T時，貨物對車廂底板的壓力最大
D、t= T時，貨物對車廂底板的壓力最小
4、（2004?江蘇）如下圖①中，
波源S從平衡位置y=0開始振動，運動方向豎直向上（y軸的正方向），振動周期T=0.01s，產生的簡諧波向左、右兩個方向傳播，波速均為 =80 m/s，經過一段時間后，P、Q兩點開始振動，已知距離SP=1.2 m，SQ=2.6 m，若以Q點開始振動的時刻作為計時零點，則在下圖②的振動圖象中，能正確描述P、Q兩點振動情況的是（ ）
Ａ、甲為Q點的振動圖象 Ｂ、乙為Q點的振動圖象
Ｃ、丙為P點的振動圖象　Ｄ、丁為P點的振動圖象
5、（2004?湖北）如右圖所示，在光滑的水平桌面上有一彈簧振子，彈簧勁度系數為k，開始時，振子被拉到平衡位置O的右側A處， 此時拉力大小為F，然后釋放
振子從靜止開始向左運動，經過時間t 后第一次到達平衡位置O處，此時振子的速度為 ，在這個過程中振子的平均速度為（ ）
A、0 Ｂ、 Ｃ、
Ｄ、不為零的某值，但由題設計條件無法求出
第三課時 單擺 受迫振動 共振
考點理解 （一）兩種簡諧運動類型
1、水平彈簧振子
（1）回復力的來源：彈簧的彈力充當回
復力，表達式為F=-kx，其中K為彈簧的勁度系數。
（2）能量轉化關系：不計
阻力的情況下，振子的動能和彈簧的彈性勢能相
互轉化，總能量保持不變。
2、單擺
（1）單擺（理想化模型）
如右下圖所示懸掛小球的細線的伸縮量和質量可以忽略。線長又比球的直徑大得多，這樣的裝置叫單擺。
（2）當單擺的最大擺角小
于10時， 單擺的振動近似為簡諧運動。
（3）單擺的振動過程中，回復力由重力沿速度方向的分力提供。
如右上圖所示當擺球運動到
任一點P時重力沿速度方向分力G=mgsinθ，在θ＜10時，sinθ≈ ，所以回復力F=- 。
故單擺在θ＜10時振動近似為簡諧運動。
（4）單擺的周期T=2
①上式中只適用于小擺角（θ＜10）的情況下。
②式中的單位為m，T的單位為s。
③單擺的振動周期在振幅較小的條件下，與單擺的振幅無關，與擺球的質量也無關。（單擺的等時性）
④擺長是懸點到擺球球心之間的距離，公式中的L應理解為等效擺長。
⑤g與單擺所處物理環境有關，g為等效重力加速度。
（i）不同星球表面，g=GM/r，式中r為星球表面半徑。
（ii）單擺處于超重或失重狀態等效重力加速度為 = ±a，如在軌道上運動的衛星a= ，完全失重，等效重力速度g=0.
無論懸點如何運動或還是受別的作用，等效g的取值總是單擺不振動時，擺線的拉力F與擺球質量的比例，即等效重力加速度g=F/ m。
（5）應用：①測重力加速度g=4


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