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一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）
1．準線為x=?2的拋物線的標準方程為（　　）
A．y2=?8x B．y2=8x C．x2=8y D．x2=?8y
　
2．設x∈R，則x＞e的一個必要不充分條件是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
　
3．不等式ax2+bx?2≥0的解集為 ，則實數a，b的值為（　　）
A．a=?8，b=?10 B．a=?1，b=9 C．a=?4，b=?9 D．a=?1，b=2
　
4．已知函數f（x）=（x?3）ex，則f′（0）=（　　）
A．2 B．?2 C．3 D．4
　
5．首項a1＞0的等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5=S12，則Sn取得最大值時n的值為（　　）
A．7 B．8或9 C．8 D．10
　
6．橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點，恰好是含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為（　　）
A． B． C． 或 D． 或
　
7．等比數列{an}的各項均為正數，且a5a6+a4a7=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（　　）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
　
8．下列命題為真命題的是（　　）
A．已知x，y∈R，則 是 的充要條件
B．當0＜x≤2時，函數y=x? 無最大值
C．∀a，b∈R，
D．∃x∈R，sinx+cosx=
　
9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若 ，且 ，則下列關系一定不成立的是（　　）
A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2
　
10．已知函數f（x）=（1? ）ex，若同時滿足條件：
①∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數a的取值范圍是（　　）
A．（4，8] B．[8，+∞） C．（?∞，0）∪[8，+∞） D．（?∞，0）∪（4，8]
　
　
二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）
11．命題“∀x∈N，x2≠x”的否定是　　　　　　．
　
12．在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，則∠C的大小為　　　　　　．
　
13．曲線f（x）=xsin x在點（ ， ）處的切線方程是　　　　　　．
　
14．已知函數f（x）的定義域為[1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的導函數，函數y=f′（x）的圖象如圖所示，則不等式組 所表示的平面區域的面積是　　　　　　．

　
15．以下幾個命題中：其中真命題的序號為　　　　　　（寫出所有真命題的序號）
①設A，B為兩個定點，k為非零常數，| |?| |=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②平面內，到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y?10=0的距離相等的點的軌跡是拋物線；＜
③雙曲線 與橢圓 有相同的焦點；
④若方程2x2?5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0＜a＜3．
　
　
三、解答題（共6小題，滿分75分）
16．已知命題p：∃x0∈R，使得 成立；命題q：函數y=loga（x+1）在區間（0，+∞）上為減函數；
（1）若命題?p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．
　
17．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列．
（Ⅰ）若 ，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范圍．
　
18．已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P在此橢圓上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l過圓x2+y2+4x?2y=0的圓心M且交橢圓于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程．
　
19．數列{an}滿足a1=1且8an+1an?16an+1+2an+5=0（n≥1）．記 ．
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求數列{bn}的通項公式及數列{anbn}的前n項和Sn．
　
20．一個截面為拋物線形的舊河道（如圖1），河口寬AB=4米，河深2米，現要將其截面改造為等腰梯

梯形（如圖2），要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準向河道填土．
（1）建立恰當的直角坐標系并求出拋物線弧AB的標準方程；
（2）試求當截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時，才能使挖出的土最少？

　
21．如圖，動點M到兩定點A（?1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線y=?2x+m與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范圍．

2018-2019學年山東省淄博市高青縣高二（上）期末數學試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）
1．準線為x=?2的拋物線的標準方程為（　　）
A．y2=?8x B．y2=8x C．x2=8y D．x2=?8y
【考點】拋物線的標準方程．
【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．
【分析】先根據準線求出p的值，然后可判斷拋物線的標準方程的焦點在x軸的正半軸上進而可設拋物線的標準形式，將p的值代入可得答案．
【解答】解：由題意可知： =2，∴p=4且拋物線的標準方程的焦點在x軸的正半軸上
故可設拋物線的標準方程為：y2=2px
將p代入可得y2=8x
故選：B．
【點評】本題主要考查拋物線的標準方程，考查學生的計算能力．屬基礎題．
　
2．設x∈R，則x＞e的一個必要不充分條件是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
【考點】必要條件．
【專題】規律型．
【分析】根據必要不充分的定義即可得到結論．
【解答】解：當x＞1時，滿足條件．
x＜1是x＞e的既不必要也不充分條件．
x＞3是x＞e的充分不必要條件．
x＜3是x＞e的既不必要也不充分條件．
故選：A．
【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用定義是解決本題的關鍵，比較基礎．
　
3．不等式ax2+bx?2≥0的解集為 ，則實數a，b的值為（　　）
A．a=?8，b=?10 B．a=?1，b=9 C．a=?4，b=?9 D．a=?1，b=2
【考點】一元二次不等式的解法．
【專題】不等式的解法及應用．
【分析】由不等式ax2+bx?2≥0的解集為 ，可得 解出即可．
【解答】解：∵不等式ax2+bx?2≥0的解集為 ，
∴
解得a=?4，b=?9．
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎題．
　
4．已知函數f（x）=（x?3）ex，則f′（0）=（　　）
A．2 B．?2 C．3 D． 4
【考點】導數的運算．
【專題】導數的綜合應用．
【分析】根據函數的導數公式直接進行求導，然后即可求f'（0）的值．
【解答】解：∵f（x）=（x?3）ex，
∴f'（x）=ex+（x?3）ex=（x?2）ex，
∴f'（0）=（0?2）e0=?2，
故選：B．
【點評】本題主要考查導數的計算，要求熟練掌握常見函數的導數公式以及導數的運算法則，比較基礎．
　
5．首項a1＞0的等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5=S12，則Sn取得最大值時n的值為（　　）
A．7 B．8或9 C．8 D．10
【考點】等差數列的前n項和．
【專題】等差數列與等比數列．
【分析】由已知條件利用等差數列前n項和公式求出a1=?8d，再結合題設條件推導出Sn= ，由此利用二次函數的對稱性能求出結果．
【解答】解：∵首項a1＞0的等差數列{an}的前n項和為Sn，S5=S12，
∴ ，
解得a1=?8d，
∵a1＞0，
∴d＜0，
∴
= ，
∵d＜0，
∴Sn是一個關于n的開口向下的拋物線，
∵S5=S12，
∴由二次函數的對稱性知：
當 ，即n=8或n=9時，Sn取得最大值．
故選B．
【點評】本題考查等差數列的前n項和公式的應用，解題時要注意二次函數性質的合理運用，是中檔題．
　
6．橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點，恰好是含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為（　　）
A． B． C． 或 D． 或
【考點】橢圓的簡單性質．
【專題】分類討論；分析法；圓錐曲線的定義、性質與方程．
【分析】由題意可得tan30°= ，或tan60

°= ，再由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值．
【解答】解：由于橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點，
是一個含60°角的菱形的四個頂點，
則tan30°= ，或tan60°= ，
當 = 時，即b= c，即有a= =2c，
由e= = ；
當 = 時，即b= c，即有a= = c，
由e= = ．
可得離心率為 或 ．
故選：C．
【點評】本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．
　
7．等比數列{an}的各項均為正數，且a5a6+a4a7=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（　　）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
【考點】等比數列的性質；對數的運算性質．
【專題】計算題．
【分析】先根據等比中項的性質可知a5a6=a4a7，進而根據a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根據等比數列的性質求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10
故選B
【點評】本題主要考查了等比數列的性質．解題的關鍵是靈活利用了等比中項的性質．
　
8．下列命題為真命題的是（　　）
A．已知x，y∈R，則 是 的充要條件
B．當0＜x≤2時，函數y=x? 無最大值
C．∀a，b∈R，
D．∃x∈R，sinx+cosx=
【考點】特稱命題．
【專題】證明題；整體思想；綜合法；簡易邏輯．
【分析】A利用充分條件和必要條件的定義進行判斷
B利用函數的單調性進行判斷
C根據基本不等式成立的條件進行判斷
D根據三角函數的有界性進行判斷
【解答】解：A．當x=4，y=1，滿足 ，但 不成立，即 不是 的充要條件，故A錯誤，
B．當0＜x≤2時，函數y=x? 為增函數，則當x=2時，函數取得最大值，故B錯誤，
C．當a，b＜0時， 不成立，故C錯誤，
D．sinx+cosx= sin（x+ ）∈[? ， ]，
∵ ∈[? ， ]，∴∃x∈R，sinx+cosx= ，故D正確，
故選：D
【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，函數單調性，基本不等式以及三角函數的真假判斷，知識點較多，綜合性較強，但難度不大．
　
9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若 ，且 ，則下列關系一定不成立的是（　　）
A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2
【考點】余弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosA，將已知第一個等式代入求出cosA的值，確定出A度數，再利用正弦定理化簡第二個等式，求出sinB的值，確定出B的度數，進而求出C的度數，確定出三角形ABC形狀，即可做出判斷．
【解答】解：∵b2+c2?a2= bc，
∴cosA= = ，
∴A=30°，
由正弦定理化簡b= a，得到sinB= sinA= ，
∴B=60°或120°，
當B=60°時，C=90°，此時△ABC為直角三角形，
得到a2+b2=c2，2a=c；
當B=120°時，C=30°，此時△ABC為等腰三角形，
得到a=c，
綜上，b=c不一定成立，
故選：B．
【點評】此題考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形與等腰三角形的性質，熟練掌握定理是解本題的關鍵．
　
10．已知函數f（x）=（1? ）ex，若同時滿足條件：
①∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數a的取值范圍是（　　）
A．（4，8] B．[8，+∞） C．（?∞，0）∪[8，+∞） D．（?∞，0）∪（4，8]
【考點】函數在某點取得極值的條件；利用導數求閉區間上函數的最值．
【專題】導數的綜合應用．
【分析】求導數，由①得到 ；
由②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
分別解出不等式即可得到實數a的取值范圍為4＜a≤8．
【解答】解：由于 ，則 =
令f

′（x）=0，則 ，
故函數f（x）在（?∞，x1），（x2，+∞）上遞增，在（x1，x2）上遞減
由于∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
當x2＞8，即 時，函數f（x）在（8，+∞）上的最小值為 ，此時無解；
當x2≤8，即 時，函數f（x）在（8，+∞）上的最小值為 ，解得a≤8．
又由∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點，故 解得a＞4；
故實數a的取值范圍為4＜a≤8
故答案為 A
【點評】本題考查函數在某點取得極值的條件，屬于基礎題．
　
二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）
11．命題“∀x∈N，x2≠x”的否定是　∃x∈N，x2=x　．
【考點】命題的否定．
【專題】簡易邏輯．
【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題即可得到結論．
【解答】解：∵全稱命題的否定是特稱命題，
∴命題的否定是：∃x∈N，x2=x．
故答案為：∃x∈N，x2=x．
【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎．
　
12．在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，則∠C的大小為　 　．
【考點】正弦定理．
【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；解三角形．
【分析】由已知及正弦定理可得sinB= = ，由大邊對大角可得0＜B＜ ，即可解得B的值，利用三角形內角和定理即可求C的值．
【解答】解：∵BC=3，∠A= ，AC= ，
∴由正弦定理可得：sinB= = = ，
∵AC＜BC，由大邊對大角可得：0＜B＜ ，
∴B= ，
∴C=π?A?B= ．
故答案為： ．
【點評】本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，大邊對大角，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，求B的值是解題的關鍵，屬于中檔題．
　
13．曲線f（x）=xsin x在點（ ， ）處的切線方程是　x?y=0　．
【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．
【專題】導數的概念及應用．
【分析】求導函數，求出切線的斜率，再求出切點的坐標，可得切線方程．
【解答】解：∵f（x）=xsinx，
∴f′（x）=sinx+xcosx，
∴f′（ ）=1，
∵f（ ）= ，
∴曲線f（x）=xsin x在點（ ， ）處的切線方程是y? =x? ，即x?y=0．
故答案為：x?y=0．
【點評】本題考查導數的幾何意義，考查切線方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
　
14．已知函數f（x）的定義域為[1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的導函數，函數y=f′（x）的圖象如圖所示，則不等式組 所表示的平面區域的面積是　3　．

【考點】簡單線性規劃的應用．
【專題】數形結合；不等式的解法及應用．
【分析】根據函數圖象，確定f（x）在[1，3）上是減函數，在[3，+∞）上是增函數，結合f（2）=f（4）=1，可得一個關于x，y的二元一次不等式組，畫出滿足條件的可行域，根據平面圖形，由面積公式可得答案．
【解答】解：由圖可知，f（x）在[1，3）上是減函數，在[3，+∞）上是增函數，
又f（2）=f（4）=1，f（2x+y）≤1，
所以2≤2x+y≤4，
從而不等式組為 ，作出可行域如圖所示，
其面積為S=×2×4?×1×2=3．
故答案為：3

【點評】本題考查的知識點是簡單線性規劃的應用，函數的圖象與性質，平面區域的面積問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，然后結合有關面積公式求解．
　
15．以下幾個命題中：其中真命題的序號為　③④　（寫出所有真命題的序號）
①設A，B為兩個定點，k為非零常數，| |?| |=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②平面內，到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y?10=0的距離相等的點的軌跡是拋物線；＜
③雙曲線 與橢圓 有相同的焦點；
④若方程2x2?5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0＜a＜3．
【考點】曲線與方程．
【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．
【分析】①根據雙曲線的定義知①不正確；
②說明點（2，1）在直線3x+4y?10=0上，不滿足拋物線的定義；
③雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1

大于0，即可判定；
④求出雙曲線的焦點與橢圓的焦點，即可判定．
【解答】解：①平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數k（k＜|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線，當0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支，當k=|AB|時，表示射線，∴①不正確；
②在平面內，點（2，1）在直線3x+4y?10=0上，
∴到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y?10=0的距離相等的點的軌跡不是拋物線，∴②不正確；
③雙曲線 與橢圓 的焦點都是（± ，0），有相同的焦點，正確；
④正確方程2x2?5x+a=0的可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則 ，∴0＜a＜3，正確；
故答案為：③④．
【點評】本題通過命題真假的判定考查橢圓、雙曲線拋物線的定義、性質和曲線的方程與方程的曲線等問題，是綜合題目．
　
三、解答題（共6小題，滿分75分）
16．已知命題p：∃x0∈R，使得 成立；命題q：函數y=loga（x+1）在區間（0，+∞）上為減函數；
（1）若命題?p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．
【考點】復合命題的真假．
【專題】簡易邏輯．
【分析】本題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據真值表進行判斷．
【解答】解：（1）∵命題p：∃x0∈R，使得 成立
∴?p：∀x∈R，ax2?2x?1≤0成立
∴①a≥0時 ax2?2x?1≤0不恒成立
②由 得a≤?1
（2）∵命題q：函數y=loga（x+1）在區間（0，+∞）上為減函數
∴命題q為真，實數a的取值范圍是：0＜a＜1
∵命題“p或q”為真，且“p且q”為假，
∴命題p、q一真一假
①當p真q假時，則 ，得實數a的取值范圍，?1＜a≤0或a≥1
②當p假q真時，則 ，實數a的取值范圍：無解
∴實數a的取值范圍是?1＜a≤0或a≥1
【點評】本題考查的知識點是復合命題的真假判定，屬于基礎題目
　
17．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列．
（Ⅰ）若 ，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范圍．
【考點】等比數列的性質；余弦定理．
【專題】綜合題；等差數列與等比數列；解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用等比數列的性質，可得b2=ac，再結合余弦定理，即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）利用余弦定理，結合基本不等式，即可求角B的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等比數列，
∴b2=ac???????????????????????（2分）
∵B=60°
∴ ???????????????????????（4分）
聯立方程組 ，
解得 ???????????????????????（6分）
（Ⅱ） ???????????????????????（8分）
∵a2+c2≥2ac，∴ ???????????????????????（10分）
∴0°＜B≤60°???????????????????????（12分）
【點評】本題考查等比數列的性質，考查余弦定理的運用，考查基本不等式，考查學生的計算能力，正確運用余弦定理是關鍵．
　
18．已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P在此橢圓上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l過圓x2+y2+4x?2y=0的圓心M且交橢圓于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程．
【考點】橢圓的應用．
【專題】綜合題；壓軸題．
【分析】解：（Ⅰ）由題意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3， ，由此可求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）解法一：設A，B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）．設直線l的方程為y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k?27=0．因為A，B關于點M對稱．所以 ．解得 ，由此可求出直線l的方程．
（Ⅱ）解法二：設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）．由題意x1≠x2且 ，① ，②
由①?②得 ．③因為A、B關于點M對稱，所以x1+x2=?4，y1+y2=2，代入③得直線l的斜率為 ，由此可求出直線l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）因為點P在橢圓C

上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．
在Rt△PF1F2中， ，
故橢圓的半焦距c= ，
從而b2=a2?c2=4，
所以橢圓C的方程為 =1．
（Ⅱ）解法一：
設A，B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）．
已知圓的方程為（x+2）2+（y?1）2=5，
所以圓心M的坐標為（?2，1）．
從而可設直線l的方程為
y=k（x+2）+1，
代入橢圓C的方程得
（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k?27=0．
因為A，B關于點M對稱．
所以 ．
解得 ，
所以直線l的方程為 ，
即8x?9y+25=0．
（經檢驗，所求直線方程符合題意）
（Ⅱ）解法二：
已知圓的方程為（x+2）2+（y?1）2=5，
所以圓心M的坐標為（?2，1）．
設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）．
由題意x1≠x2且 ，① ，②
由①?②得 ．③
因為A、B關于點M對稱，
所以x1+x2=?4，y1+y2=2，
代入③得 = ，
即直線l的斜率為 ，
所以直線l的方程為y?1= （x+2），
即8x?9y+25=0．
（經檢驗，所求直線方程符合題意．）
【點評】本題綜合考查直線和圓、橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解題，避免錯誤．
　
19．數列{an}滿足a1=1且8an+1an?16an+1+2an+5=0（n≥1）．記 ．
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求數列{bn}的通項公式及數列{anbn}的前n項和Sn．
【考點】數列的求和；數列遞推式．
【專題】計算題；壓軸題．
【分析】（法一）（I）由a1結合遞推公式可求a2，a3，a4，代入 求b1，b2，b3，b4
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，觀察規律可猜想數列 為等比數列，進而可求bn，結合 ⇒ ，從而猜想得以證明，代入求出an•bn，進而求出前n和sn
（法二）（I） 代入遞推公式可得 ，代入可求b1，b2，b3，b4
（II）利用（I）中的遞推關系個構造數列 為等比數列，從而可求bn，sn
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，觀察規律可猜想數列bn+1?bn為等比數列，仿照法一再證明猜想，根據求通項的方法求bn，進一步求sn
【解答】解：法一：
（I）a1=1，故 ； ，
故 ； ，
故 ； ，
故 ．
（II）因 ，
故猜想 是首項為 ，公比q=2的等比數列．
因an≠2，（否則將an=2代入遞推公式會導致矛盾）故 ．
因 ，

故 確是公比為q=2的等比數列．
因 ，故 ， ，
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = =
法二：
（Ⅰ）由 得 ，代入遞推關系8an+1an?16an+1+2an+5=0，
整理得 ，即 ，
由a1=1，有b1=2，所以 ．
（Ⅱ）由 ，
所以 是首項為 ，公比q=2的等比數列，
故 ，即 ．
由 ，得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = ．
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ） 猜想{bn+1?bn}是首項為 ，
公比q=2的等比數列，
又因an≠2，故 ．
因此 =
；
= ．
因 是公比q=2的等比數列， ，
從而bn=（bn?bn?1）+（bn?1?bn?2）+…+（b2?b1）+b1=
=
= ．
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = ．
【點評】本題考查了數列的綜合運用：遞推關系的運用，構造等比求數列通項，累加求通項，歸納推理的運用，綜合考查了考生的推理運算能力．
　
20．一個截面為拋物線形的舊河道（如圖1），河口寬AB=4米，河深2米，現要將其截面改造為等腰梯形（如圖2），要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準向河道填土．
（1）建立恰當的直角坐標系并求出拋物線弧AB的標準方程；
（2）試求當截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時，才能使挖出的土最少？

【考點】拋物線的應用．
【專題】應用題．
【分析】（1）以拋物線的頂點為原點，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，一依題意可

知A，B的坐標，設出拋物線的方程，把點B代入求得p，進而可求得拋物線的方程．
（2）設等腰梯形的腰與拋物線相切于P，則可利用導函數求得P的切線的斜率，表示直線l的方程，分別令y=0和2求得x，利用梯形面積求得面積的表達式，利用基本不等式求得三角形面積的小值．
【解答】解：（1）如圖：以拋物線的頂點為原點，AB中垂線為y軸建立直角坐標系
則A（?2，2），B（2，2）
設拋物線的方程為x2=2Py（P＞0），
將點B（2，2）代入得P=1
所以拋物線弧AB方程為x2=2y（?2≤x≤2）
（2）設等腰梯形的腰與拋物線相切于 ，（不妨t＞0）
則過 的切線l的斜率為y′|x=t=t
所以切線l的方程為： ，即
令y=0，得 ，
令y=2，得 ，
所以梯形面積
當僅當 ，即 時，“=”成立
此時下底邊長為
答：當梯形的下底邊長等于 米時，挖出的土最少．

【點評】考查待定系數法求曲線方程的知識；考查直線方程的知識；考查由函數導數或判別式法求曲線切線的知識；考查應用函數單調性或不等式求函數最值的知識；考查選擇恰當參數建立數學式子研究幾何圖形的解析幾何思維；考查根據實際選擇數學模型的能力（即數學建模能力）．
　
21．如圖，動點M到兩定點A（?1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線y=?2x+m與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范圍．

【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的軌跡問題．
【專題】綜合題；壓軸題．
【分析】（Ⅰ）設出點M（x，y），分類討論，根據∠MBA=2∠MAB，利用正切函數公式，建立方程化簡即可得到點M的軌跡方程；
（Ⅱ）直線y=?2x+m與3x2?y2?3=0（x＞1）聯立，消元可得x2?4mx+m2+3=0①，利用①有兩根且均在（1，+∞）內
可知，m＞1，m≠2設Q，R的坐標，求出xR，xQ，利用 ，即可確定 的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）設M的坐標為（x，y），顯然有x＞0，且y≠0
當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，±3）
當∠MBA≠90°時，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化簡可得3x2?y2?3=0
而點（2，±3）在曲線3x2?y2?3=0上
綜上可知，軌跡C的方程為3x2?y2?3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直線y=?2x+m與3x2?y2?3=0（x＞1）聯立，消元可得x2?4mx+m2+3=0①
∴①有兩根且均在（1，+∞）內
設f（x）=x2?4mx+m2+3，∴ ，∴m＞1，m≠2
設Q，R的坐標分別為（xQ，yQ），（xR，yR），
∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m? ，
∴ = =
∵m＞1，且m≠2
∴ ，且
∴ ，且
∴ 的取值范圍是（1，7）∪（7，7+4 ）
【點評】本題以角的關系為載體，考查直線、雙曲線、軌跡方程的求解，考查思維能力，運算能力，考查思維的嚴謹性，解題的關鍵是確定參數的范圍．