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常州市2013中考數學試卷分析
數 學 試 題
注意事項：
1.本試卷共6頁，全卷滿分120分，考試時間為20分鐘，考生將答案全部填寫在答題卡位置上，寫在本試卷上無效，考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回，考試時不允許使用計算器。
2.答題前，考生務必將自己的姓名、考試證號填寫在試卷上，并趕寫好答題卡上的考生信息。
3.作圖必須用2B鉛筆，并加黑加粗，清楚。
一．（本大題共有8小題，每小題2分，共16分，在每小題所給的四個選項中，只有一項是正確的）
1.在下列實數中，無理數是 （ ）
A．2B．3.14C． D．
答案:D
解析：無理數指無限不循環小數，而A、B、C分別是整數、有理數、分數，而D是無理數。
2.如圖所示圓柱的左視圖是 （ ）
A．B．C．D．
答案：C
解析：圓柱體：正視圖是長方形，左視圖是長方形，俯視圖是圓形
3. 下列函數中，圖像經過點（1，-1)的反比例函數關系式是 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：將點坐標帶入各個選項中，發現只有A選項符合
4.下列計算中，正確的是 （ ）
A．（a3b）2=a6b2B．a*a4=a4C．a6÷a2=a3D．3a+2b=5ab
答案：A
解析：冪運算公式的應用，B為a的5次方，C為a的4次方，D為原式
5.已知：甲乙兩組數據的平均數都是5，甲組數據的方差 ，乙組數據的方差 ，下列結論中正確的是 （ ）
A．甲組數據比乙組數據的波動大B．乙組數據的比甲組數據的波動大C．甲組數據與乙組數據的波動一樣大D．甲組數據與乙組數據的波動不能比較
答案：B
解析：當均值相同時，方差越大，成績越不穩定，反之亦然。
6.已知⊙O的半徑是6，點O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法判斷
答案：C
解析：圓半徑為6，圓心到直線距離為5，當圓心到直線距離小于半徑時，直線與圓相交。
7.二次函數 （a、b、c為常數且a≠0）中的x與y的部分對應值如下表：
x-3-2-1012345
y1250-3-4-30512
給出了結論：
(1)二次函數 有最小值，最小值為-3；
(2)當 時，y<0;
(3)二次函數 的圖象與x軸有兩個交點，且它們分別在y軸兩側。
則其中正確結論的個數是 （ ）
A．3B．2C．1D．0
答案：B
解析：將（-1,0），（0，-3），（3,0）代入解析式，得到二次函數為 ，配方后二次函數變為 ，所以函數最小值為-4；此題可以借助二次函數圖像，很容易看出（2）、（3）是對的；所以正確的有2個
8.有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊分別為a、b(b>a)的矩形紙片，5張邊長為b的正方形紙片，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙乍進行無空隙、無重疊拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為
（ ）
A．a+bB．2a+bC．3a+bD．a+2b
答案：D
解析：將各個選項進行完全平方展開，C首先排除，需要9個正方形才行，A、B、D都可以，但是由于b>a，所以表達式中b越大，則面積越大，故選D
二．題（本大題共有9小題，第9小題4分，其余8小題每小題2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應的位置上）
9.計算-(-3)=____3____,-3=___3____,(-3)-1=___-4____,(-3)2=___-6____.
解析：考查絕對值及相反數的運算。
10.已知點P（3，2），則點P關于y軸的對稱點P1的坐標是_（-3,2）_____,點P關于原點O的對稱點P2的坐標是_（-3，-2）_______.
解析：考查點關于x軸、y軸及原點對稱問題。
11.已知一次函數y=kx+b(k、b為常數且k≠0)的圖象經過點A（0,-2）和點B（1,0），則 k=___2___，b=__-2____。
解析：一次函數，利用待定系數法，將A，B兩點代入一次函數解析式可得k與b
12.已知扇形的半徑為6cm，圓心角為150°，則此扇形的弧長是__5π____cm，扇形的面積是____15π____cm2（結果保留π）。
解析：求有關弧長、面積問題，扇形弧長l= ，扇形面積=
13.函數y= 中自變量x的取值范圍是__x_>=3_____，若分式 的值為0，則x=_ ___。
解析：二次根式及分式的概念
14.我市某一周的每一天的最高氣溫統計如下表：
最高氣溫（℃）25262728
天數1123
則這組數據的中位數是__27______，眾數是___28____。
解析：考查中位數、眾數基本概念
15.已知x=-1是關于x的方程2x2+ax-a2=0的一個根，則a=_-2或1
______。
解析：本題主要考察一元二次方程知識點，首先可以根據x的解代入方程，得到a2+a-2=0，轉化為關于a的一元二次方程，從而可根據一元二次方程的四種解法解出a的值，用因式分解法頗為簡單
16.如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD=6，則DC=___ _____.
解析：考查圓內相關問題。由∠BAC=120°，AB=AC得∠C=30°，則∠D=30°，
由直徑所對的圓周角為直角得AB= ，∠DBC=30°，在同圓中圓周角所對的弦相等得AB=CD
17.在平面直角坐標系xOy中，已知第一象限內的點A在反比例函數 的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數 的圖象上，連接OA、OB，若OA⊥OB，OB= OA，則k=__ _____.
解析：考查反比例函數，相似的性質。過點A作AC垂直x軸交與C點，過點B作BD垂直與x軸于D點，由已知得 ，由OB= OA得 ，又
三、解答題（本大題共2小題，共18分）
18.化簡（每小題4分，共8分）
解析：=2－1＋1
=2
本題目主要考察平方根、冪的運算和銳角三角函數最基本的知識點，屬于簡單題
解析：本題目主要考察分式的化簡習題，首先要去尋找分母的最小公倍數，需要注意的是當把后面分式的分母x+2化為x2－4時，分母上此時變為x－2，這時候減去的需要時一個整體－（x－2）
19.解方程組和不等式組：（每小題5分，共10分）
解析：本題目主要考察二元一次方程的解法，我們可以采用代入消元法或加減消元法去做
法一：我們可以把x用y代替，或把y用x代替，代入另外一個式子，從而解出其中一個字母，最后解出另外一個，此方法為代入消元法
法二：我們可以把x或y前面的系數化為相等或相反的數，從而再把他們相減或相加，起到消元的效果，此方法為加減消元法
解析：此題目主要考察解分式方程，解分式方程的中心思想是要把分式方程轉化為整式方程，最終還要把結果進行檢驗，以免產生增根
四、解答題（本大題共2小題，共15分請在答題卡指定區域內作答，解答或寫出文字說明及演算步驟）
20.（本小題滿分7分）
為保證中小學生每天鍛煉一小時，某校開展了形式多樣的體育活動項目，小明對某班同學參加鍛煉的情況進行了統計，并繪制了下面的統計圖（1）和圖（2）。
（1）請根據所給信息在圖（1）中將表示“乒乓球”項目的圖形補充完整；
（2）扇形統計圖（2）中表示”足球”項目扇形的圓心角度數為____72°____.
解析：本題目主要考察統計相關知識點，思路簡單，主要思路為根據已知某項具體的人數及所占的比例求出總的人數，可算出各自所占的百分比，最后算出對應的圓心角的度數。該題屬于基礎型題。
21.（本小題滿分8分）
一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同。
（1）從箱子中隨機摸出一個球是白球的概率是多少？
(2 ) 從箱子中隨機摸出一個球，，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，
求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖。
解：（1）∵共有3個球，2個白球，
∴隨機摸出一個球是白球的概率為2/3
（2）根據題意畫出樹狀圖如下：
一共有6種情況，兩次摸出的球都是白球的情況有2種，
所以，P（兩次摸出的球都是白球）=2/6=1/3．
解析：此題目是和概率相關的題目，考察學科對樹狀圖和列表法的理解；始終遵循一個原則：分母上為總的可能性，分子上為符合題目意思的可能性，在第二問中需要注意的是他是有放回的，所以共有9種選擇。
五．解答題（本大題共2小時，共13分，請在答題卡指定區域內作答，解答應寫出證明過程）
22．（本小題滿分6分）
如圖，C是AB的中點，AD=BE，CD=CE。
求證：∠A=∠B。
23.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的兩個外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA。
求證：四邊形ABCD是菱形。
解析：22、23兩題都是初中階段平面幾何的證明題。22題屬于容易題，通過AC=CB和CD=CE、AD=BE三個條件利用SSS證明全等；23題屬于中等偏容易的題型，由AB=AC，∠B=60°以及兩個外角的條件，通過平分可以得知△ACD也是等邊，從而原題得證。
六．解答題（本大題共2小題，請在答題卡指定區域內作答，共13分）
24.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，點O為Rt△ABC內一點，連接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：
以點B為旋轉中心，將△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B
（得到A、O的對應點分別為點A′、O′），并回答下列問題：
∠ABC=___30°___,∠A′BC=___90°__,OA+OB+OC=__ __.
解析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后過點B作BC的垂線，在截取A′B=AB，再以點A′為圓心，以AO為半徑畫弧，以點B為圓心，以BO為半徑畫弧，兩弧相交于點O′，連接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根據旋轉角與∠ABC的度數，相加即可得到∠A′BC；
根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長，再根據旋轉的性質求出△BOO′是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．
25.（本小題滿分7分）
某飲料廠以300千克的A種果汁和240千克的B種果汁為原料，配制生產甲、乙兩種新型飲料，已知每千克甲種飲料含0.6千克A種果汁，含0.3千克B種果汁；每千克乙種飲料含0.2千克A種果汁，含0.4千克B種果汁。飲料廠計劃生產甲、乙兩種新型飲料共650千克，設該廠生產甲咱飲料x（千克）。
（1）列出滿足題意的關于x的不等式組，并求出x的取值范圍；
（2）已知該飲料廠的甲種飲料銷售價是每1千克3元，乙種飲料銷售價是每1千克4元，那么該飲料廠生產甲、乙兩種飲料各多少千克，才能使得這批飲料銷售總金額最大？
解：（1）設該廠生產甲種飲料x千克，則生產乙種飲料（650-x）千克，根據題意得，
0.6x+0.2(650-x)≤300①
0.3x+0.4(650-x)≤240②
由①得，x≤425，
由②得，x≥200，
所以，x的取值范圍是200≤x≤425；
（2）設這批飲料銷售總金額為y元，
根據題意得，y=3x+4（650-x）=3x+2600-4x=-x+2600，
即y=-x+2600，
∵k=-1＜0，
∴當x=200時，這批飲料銷售總金額最大，為-200+2600=2400元．
解析：本題考查了一次函數的應用，列一元一次不等式組解實際問題，根據A、B果汁的數量列出不等式組是解題的關鍵，（2）主要利用了一次函數的增減性．
七．解答題（本大題共3小題，共25分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
26（本小題滿分6分）
用水平線和豎起線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形。設格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數和為a,內部的格點個數為b，則 (史稱“皮克公式”).
小明認真研究了“皮克公式”，并受此啟發對正三角開形網格中的類似問題進行探究：正三角形網格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，下圖是該正三角形格點中的兩個多邊形：
根據圖中提供的信息填表：
格點多邊形各邊上的格點的個數格點邊多邊形內部的格點個數格點多邊形的面積
多邊形1818
多邊形27311
…………
一般格點多邊形abS
則S與a、b之間的關系為S=____S=a+2（b-1）______(用含a、b的代數式表示)。
解析：考查了作圖-應用與設計作圖．此題需要根據圖中表格和自己所算得的數據，總結出規律．尋找規律是一件比較困難的活動，需要仔細觀察和大量的驗算．
27.（本小題滿分9分）
在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0）,點B(0,6)，動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC,過O點作OD⊥OC,OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB。
（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數為____45°或135°___;
（2）連接AC，BC，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值。
（3）連接AD，當OC∥AD時，
①求出點C的坐標；②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由。
解析：作為壓軸題之一，27題考查了圓中的動態問題，同時對考生圖形的旋轉帶來的變化提出了較高的能力要求。（1）較為容易，Rt△ABO是明顯的等腰直角三角形；
（1）根據點A和點B坐標易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2），根據三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質計算出OE，然后計算△ABC的面積；
（3）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則CF= ，所以∠COF=30°，則可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根據切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．
28.(本小題滿分10分)
在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點C，點B的坐標為(a,0),(其中a>0),直線l過動點M(0,m)(0(1)寫出A、C兩點的坐標；
(2)當0

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