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中考數學總復習 專題基礎知識回顧三 幾何初步
一、單元知識網絡：
二、考試目標要求：
　　了解直線、射線、線段的概念和性質以及表示方法，掌握三者之間的區別和聯系，會解決與線段有關的實際問題；了解角的概念和表示方法，會把角進行分類以及進行角的度量和計算；掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點、性質和判定；了解命題的定義、結構、表達形式和分類，會簡單的證明有關命題.
具體目標：
1、圖形的認識
　　(1) 點、線、面
　　　　①認識點、線、面(如交通圖上用點表示城市，屏幕上的畫面是由點組成的).
　　　　②認識直線、射線、線段及性質.
　　　　③會比較線段的大小，會計算線段的和、差、倍、分，并會進行簡單計算.
　　　　④了解線段的中點.
　　(2) 角
　　　　①通過豐富的實例，進一步認識角.
　　　　②會比較角的大小，能估計一個角的大小，會計算角度的和與差，認識度、分、秒，會進行簡單換
　　　　　算.
　　　　③了解角平分線及其性質
　　(3) 相交線與平行線
　　　　①了解補角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等.
　　　　②了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質，體會點到直線距離的意義.
　　　　③知道過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線.
　　　　④了解線段垂直平分線及其性質.
　　　　⑤知道兩直線平行同位角相等，進一步探索平行線的性質.
　　　　⑥知道過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這
　　　　　條直線的平行線.
　　　　⑦體會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離.

2、尺規作圖
　　①完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直
　　　平分線.
　　②了解尺規作圖的步驟，對于尺規作圖題，會寫已知、求作和作法(不要求證明).

3、命題與證明
　　①理解證明的定義和必要性.
　　②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區分命題的條件(題設)和結論.
　　③結合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立.
　　④掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據.

三、知識考點梳理
知識點一、直線的概念和性質
1．直線的定義：
　　代數中學習的數軸和一張紙對折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無限延伸.(直線的概念是一個描述性的定義，便于理解直線的意義)

2．直線的兩種表示方法：
　　(1)用表示直線上的任意兩點的大寫字母來表示這條直線，如直線AB，其中A、B是表示直線上兩點的字
　 　　母；
　　(2)用一個小寫字母表示直線，如直線a.

3．直線和點的兩種位置關系
　　(1)點在直線上(或說直線經過某點)；
　　(2)點在直線外(或說直線不經過某點).

4．直線的性質：
　　過兩點有且只有一條直線(即兩點確定一條直線).

5．同一平面內兩條不同直線的位置關系：
　　(1)兩條直線無公共點，即平行；
　　(2)兩條直線有一個公共點，即兩條直線相交，這個公共點叫做兩條直線的交點(兩條直線相交，只有一
　 　　個交點).

知識點二、射線、線段的定義和性質
1．射線的定義：
　　直線上一點和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無限延伸.

2．射線的表示方法：
　　(1)用表示射線的端點和射線上任意一點的大寫字母來表示這條射線，如射線OA，其中O是端點，A是射
　 　　線上一點；
　　(2)用一個小寫字母表示射線，如射線a.

3．線段的定義：
　　直線上兩點和它們之間的部分叫做線段，兩個點叫做線段的端點.

4．線段的表示方法：
　　(1)用表示兩個端點的大寫字母表示，如線段AB，A、B是表示端點的字母；
　　(2)用一個小寫字母表示，如線段a.

5．線段的性質：
　　所有連接兩點的線中，線段最短(即兩點之間，線段最短).

6．線段的中點：
　　線段上一點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點.

7．兩點的距離：
　　連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.

知識點三、角
1．角的概念：
　　(1)定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線分別叫
　 　　做角的邊.
　　(2)定義二：一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形叫做角.射線旋轉時經過的平面
　 　　部分是角的內部，射線的端點是角的頂點，射線旋轉的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

2．角的表示方法：
　　(1)用三個大寫字母來表示，注意將頂點字母寫在中間，如∠AOB；
　　(2)用一個大寫字母來表示，注意頂點處只有一個角用此法，如∠A；
　　(3)用一個數字或希臘字母來表示，如∠1，∠ .

3．角的分類：
　　(1)按大小分類：
　 　　銳角----小于直角的角(0°＜ ＜90°)
　 　　直角----平角的一半或90°的角( =90°)
　 　　鈍角----大于直角而小于平角的角(90°＜ ＜180°)
　　(2)平角：一條射線繞著端點旋轉，當終止位置與起始位置成一條直線時，所成的角叫做平角，平角等
　 　　于180°.
　　(3)周角：一條射線繞著端點旋轉，當終止位置又回到起始位置時，所成的角叫做周角，周角等于
　 　　360°.
　　(4)互為余角：如果兩個角的和是一個直角(90°)，那么這兩個角叫做互為余角.
　　(5)互為補角：如果兩個角的和是一個平角(180°)，那么這兩個角叫做互為補角.

4．角的度量：
　　(1)度量單位：度、分、秒；
　　(2)角度單位間的換算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；
　　(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.

5．角的性質：
　　同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.

6．角的平分線：
　　如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.

知識點四、相交線
1．對頂角
　　(1)定義：如果兩個角有一個公共頂點， 而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，那么這兩
　 　　個角叫對頂角.
　　(2)性質：對頂角相等.

2．鄰補角
　　(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補角.
　　(2)性質：鄰補角互補.

3．垂線
　　(1)兩條直線互相垂直的定義：當兩條直線相交所得的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線
　 　　是互相垂直的，它們的交點叫做垂足.垂直用符號“⊥”來表示
　　(2)垂線的定義:互相垂直的兩條直線中，其中的一條叫做另一條的垂線，如直線a垂直于直線b，垂足
　 　　為O，則記為a⊥b，垂足為O.其中a是b的垂線，b也是a的垂線.
　　(3)垂線的性質：
　 　　①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
　 　　②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.
　　(4)點到直線的距離定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

4．同位角、內錯角、同旁內角
　　(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構成八個
　 　　角，簡稱三線八角，如右圖所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、
　 　　∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是內錯角；∠1和∠5、
　 　　∠2和∠6是同旁內角.
　　(2)特點：同位角、內錯角、同旁內角都是由三條直線相交構成的兩個
　 　　角.兩個角的一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線
　 　　(被截線)上.

知識點五、平行線
1．平行線定義：
　　在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“∥”來表示，.如直線a與b平行，記作a∥b.在幾何證明中，“∥”的左、右兩邊也可能是射線或線段.

2．平行公理及推論：
　　(1)經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
　　(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：
　 　　如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

3．性質：
　　(1)平行線永遠不相交；
　　(2)兩直線平行，同位角相等；
　　(3)兩直線平行，內錯角相等；
　　(4)兩直線平行，同旁內角互補；
　　(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號表示為：
　 　　若b∥c，b⊥a，則c⊥a.

4．判定方法：
　　(1)定義
　　(2)平行公理的的推論
　　(3)同位角相等，兩直線平行；
　　(4)內錯角相等，兩直線平行；
　　(5)同旁內角互補，兩直線平行；
　　(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.

知識點六、命題、定理、證明
1．命題：
　　(1)定義：判斷一件事情的語句叫命題.
　　(2)命題的結構：題設+結論=命題
　　(3)命題的表達形式：如果……那么……；若……則……；
　　(4)命題的分類：真命題和假命題
　　(5)逆命題：原命題的題設是逆命題的結論，原命題的結論是逆命題的題設.

2．公理、定理：
　　(1)公理：人們在長期實踐中總結出來的能作為判斷其他命題真假依據的真命題叫做公理.
　　(2)定理：經過推理證實的真命題叫做定理.

3．證明：
　　用推理的方法證實命題正確性的過程叫做證明.

四、規律方法指導
1．數形結合思想
　　利用線段的長度、角的角度、對頂角、三線八角等基本幾何圖形，會求線段的長，以及角的度數，利用圖形的直觀性解決數的抽象性，能在一定條件下形數互化，由數構形，以形破數.

2．分類討論思想
　　直線的交點個數及位置關系，角的大小等需要有分類討論的思想，包含多種可能的情況時，應根據可能出現的所有情況來分別討論得出各種情況下相應的結論，不重不漏.

3．化歸與轉化思想
　　在解決利用幾何圖形求線段長度和角的度數的問題時，常常是將需要解決的問題，通過做輔助線、求和差等轉化手段，歸結為另一個相對較容易解決的或者已經有解決模式的問題，化繁為簡、化難為易，由復雜與簡單的轉化.

4．注意觀察、分析、總結
　　結合近幾年中考試卷，幾何基本圖形中的角的計算、與線段和平行有關的實際問題是當前命題的熱點，常以填空和選擇形式出現，以考查基礎為主；尺規作圖通常結合計算和證明出現，要注意弄清概念，認真觀察，總結規律，并做到靈活應用.
經典例題精析
考點一、直線、射線、線段的概念和性質
　　 1．（1）（2010江蘇宿遷）直線上有2010個點,我們進行如下操作：在每相鄰兩點間插入1個點,經過3次這樣的操作后,直線上共有__________個點.
　　答案：16073

　　（2）下列語句正確的是( )
　　A. 延長直線AB 　　　　　　　　　　B. 延長射線OA
　　C. 延長線段AB 到C，使AC=BC　　　　D. 延長線段AB 到C，使AC=3AB
　　考點：直線、射線、線段的性質.
　　解析：選項A中直線是向兩方無限延伸的，不能延長，所以A錯；選項B中射線是向一方無限延伸的，而延長射線OA就是指由O向A延長，射線只能反向延長，所以B錯；選項C中AC只能大于BC，線段延長應有方向，而且要符合實際意義，所以C錯.所以選D.

　　舉一反三
　　【變式1】下列語句正確的是( )
　　A．如果PA=PB，那么P是線段AB的中點 　　　B．線段有一個端點
　　C．直線AB大于射線AB 　　　　　　　　　　D．反向延長射線OP(O為端點)
　　考點：直線、射線、線段的性質.
　　解析：在只用幾何語言表達而沒有圖形的情況下，要注意圖形的不同情形，象A中往往容易考慮不到P、A、B三點可能不在同一直線上，要注意線段的中點首先應為線段上一點，而誤選A；線段有兩個端點，所以B錯；直線可以向兩方無限延伸，射線可以向一方無限延伸，所以直線與射線都無法度量長度，不能比較大小，所以C錯.答案選D.

　　 2．(1)數軸上有兩點A、B分別表示實數a、b，則線段AB的長度是( )
　　A.a-b　　　 B.a+b 　　　C.│a-b│　　　 D.│a+b│

　　(2)已知線段AB，在BA的延長線上取一點C，使CA=3AB，則線段CA與線段CB之比為( )
　　A.3：4 　　　B.2：3　　　 C.3：5　　　 D.1：2

　　考點：數軸上兩點間的距離和線段的加減.
　　思路點撥：本類題目注意線段長度是非負數，若有字母注意使用絕對值.根據題意，畫圖.
　　解：(1)中數軸上兩點間的距離公式為：│a-b│或│b-a│.
　　　　(2)如圖，因為CA=3AB，所以CB=4AB，則線段CA與線段CB之比為3AB:4AB=3:4.
　　　　　　　　　
　　答案：(1)C；(2)A
　　總結升華：解決本例類型的題目應結合圖形，即數形結合，這樣做起來簡捷.

　　舉一反三
　　【變式1】如圖，點A、B、C在直線 上，則圖中共有______條線段.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　答案：3

　　【變式2】有一段火車路線，含這段鐵路的首尾兩站在內共有5個車站(如圖)，圖中共有幾條線段？在這段線路上往返行車，需印制幾種車票(每種車票要印出上車站與下車站)？
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：線段有10條；車票需要2×10=20種.
　　總結升華：在直線上確定線段的條數公式為: (其中n為直線上點的個數).在求從一個頂點引出的n條射線所形成的小于平角的角的個數也可用此公式.

　　【變式3】已知線段AB=8cm，延長AB至C，使AC=2AB，D是AB中點，則線段CD=______.
　　思路點撥：解決本例類型的題目應結合圖形，即數形結合，本題考查延長線段的方向和線段的中點的概念.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：如圖，∵AB=8cm AC=2AB ∴AC=2×8=16cm
　　　　∵D是AB中點 ∴AD=8× =4cm ∴CD=AC-AD=16-4=12cm

考點二、角
　　 3．下列說法正確的是( )
　　A．角的兩邊可以度量.
　　B．角是由有公共端點的兩條射線構成的圖形.
　　C．平角的兩邊可以看成直線.
　　D．一條直線可以看成是一個平角.
　　考點：角的定義
　　解析：角的兩邊是射線，不能度量，所以A錯；平角的兩邊也是射線，不能是直線，所以C錯；了解直線和平角兩者之間的區別，角有頂點，所以D錯.故選B.

　　 4．已知OC平分∠AOB，則下列各式:(1)∠AOC= ∠AOB；(2)∠AOC=∠COB；(3)∠AOB=2∠AOC，其中正確的是( )
　　A.只有(1) 　　　B.只有(1)(2)　　　 C.只有(2)(3)　　　 D.(1)(2)(3)
　　思路點撥：角平分線定義的的三種表達形式.
　　答案：D

　　 5．（1）（2010山東德州）如圖，直線AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，則∠E等于（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（A）30°　　（B）40°　
　　（C）60°　　（D）70°
　　考點：平行線的性質、三角形外角定理.
　　答案：A

　　（2）已知∠ 與∠ 互余，且∠ =40°，則∠ 的補角為_______度.
　　考點：角互余和互補定義.
　　思路點撥：本題考查互余、互補兩角的定義，互余、互補只與兩角度數和有關，與角的位置無關.
　　解：∵∠ 與∠ 互余，∴∠ +∠ =90°；∵∠ =40°，
　　　　∴∠ =90°-∠ =90°-40°=50°.
　　　　∴∠ 的補角=180°-50°=130°.

　　舉一反三
　　【變式1】如圖，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，則圖中互余的角有_______對，互補的角有_______對.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　考點：互為余角和互為補角的定義.
　　思路點撥：在本題目中，當圖中角比較多時，就將圖形的角進行歸類，找出每種相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等的性質解決問題，注意要不重不漏.
　　解：互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4對；
　　　　互補的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、
　　　　∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7對.

　　【變式2】已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角.求證：∠ACD=∠B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　證明：∵AC⊥BC(已知)
　　　　　∴∠ACB=90°( )
　　　　　∴∠BCD是∠DCA的余角( )
　　　　　∵∠BCD是∠B的余角(已知)
　　　　　∴∠ACD=∠B( )
　　思路點撥：會根據所給的語句寫出正確的根據.會用所學的定理、公理、推論等真命題概括幾何語言.
　　答案：垂直定義；余角定義，同角的余角相等.

　　 6．(1)已知∠1=43°27′，則∠1的余角是_______，補角是________；
　　　　　　(2)18.32°=18°( )′( )″，216°42′=_______°.
　　考點：掌握角的單位之間的換算關系. 1°=60′，1′=60″.
　　解：(1) ∠1的余角=90°-43°27′=89°60′-43°27′=46°33′；
　　　　　　∠1的補角=180°-43°27′=179°60′-43°27′=136°33′；
　　　　(2) 0.32°=0.32×60′=19.2′ 0.2′=0.2×60″=12″ 所以18.32°=18°19′12″；
　　　　　　42′=0.7° 所以216°42′=216.7°.

　　舉一反三
　　【變式1】計算.
　　① 　　 　 ②
　　③ 　　　　④
　　考點：會計算角之間的和、差、倍、分，注意相鄰單位之間是60進制的，相同單位互相加減.
　　解：① =68°70′=69°10′
　　　　② =62°×3+25′×3=186°+75′=187°15′
　　　　③ =67°80′-37°33′=30°47′
　　　　④ =69°60′÷3=23°20′

　　 7．（1）（2010內蒙呼和浩特）8點30分時，鐘表的時針與分針的夾角為__________°．
　　答案：75

　　（2）時鐘在1點30分時，時針與分針的夾角為_______度.
　　解析：時鐘上時針和分針是實際生活中常見的角，分針1小時旋轉360度，1分鐘旋轉6度；時針1小時旋轉30度，1分鐘旋轉0.5度.在相同時間下，分針旋轉的角度是時針的12倍.鐘表上1和6的夾角為150°，過了半小時，時針轉了15°，所以1點30分時，時針與分針的夾角為150°-15°=135°.

　　舉一反三
　　【變式1】某火車站的時鐘樓上裝有一個電子報時鐘，在鐘面的邊界上，每一分鐘的刻度處都裝有一只小彩燈，晚上9時35分20秒時，時針與分針所夾的角內裝有多少只小彩燈？
　　解析：9時35分20秒時，時針與分針的夾角間的小格數為 個小格，中間有12個分鐘刻度處，而每一個分鐘刻度處有一只小彩燈，所以它們之間有12個小彩燈.

　　 8．表示O點南偏東15°方向和北偏東25°方向的兩條射線組成的角等于______度.
　　考點：方位角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：如圖，南北方向上的線與OA、OB的夾角分別為25°和15°，
　　　　　所以∠AOB=180°-25°-15°=140°.

　　舉一反三
　　【變式1】如圖，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東48°，甲、乙兩地間同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西________度.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　考點：方位角在實際中的應用
　　思路點撥：結合圖形，在求方位角時，掌握甲和乙之間方向相反的規律，甲觀察乙是北偏東48°，乙觀察甲就是南偏西48°.
　　答案：48°.

　　 9．如圖，OA⊥OB，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，則∠BOD=_________°.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　思路點撥：通過觀察圖形，找出各角之間的聯系，關鍵是看清角所在的位置，結合圖形進行計算.
　　解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°，　∵∠BOC=40°，　
　　　　∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°，
　　　　∵OD平分∠AOC， ∴∠COD= ∠AOC= ×130°=65°，　
　　　　∴∠BOD=∠COD-∠BOC=65°-40°=25°.

　　舉一反三
　　【變式1】用一副三角板畫角，不能畫出的角的度數是( )
　　A.15°　　　 B.75°　　　 C.145°　　　 D.165°
　　思路點撥：了解一副三角板中各角的度數，總結規律：用一副三角板畫角，能畫出的角都是15°的整數倍.
　　答案：C

　　【變式2】以∠AOB的頂點O為端點作射線OC，使∠AOC:∠BOC=5:4.(1)若∠AOB=18°，求∠AOC與∠BOC的度數；(2)若∠AOB=m°，求∠AOC與∠BOC的度數.
　　思路點撥：當題目中包含多種可能的情況時，應根據可能出現的所有情況進行分類，要做到無遺漏、無重復.
　　答案：(1)第一種情形:OC在∠AOB的外部，
　　　　　　　可設∠AOC=5x，∠BOC=4x，
　　　　　　　則∠AOB=∠AOC-∠BOC=x，即x=18°.
　　　　　　　∴∠AOC=90°，∠BOC=72°.
　　　　　　　第二種情形:OC在∠AOB的內部，
　　　　　　　可設∠AOC=5x，∠BOC=4x，
　　　　　　　則∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x，
　　　　　　　∴9x=18°，即x=2°.
　　　　　　　∴∠AOC=10°，∠BOC=8°.
　　　　　 (2)∠AOC=5m°，∠BOC=4m°.或∠AOC= m°，∠BOC= m°.

知識點三、尺規作圖
　　 10．只用無刻度直尺就能作出的是( )
　　A.延長線段AB至C，使BC=AB；　　　 B.過直線 上一點A作 的垂線
　　C.作已知角的平分線； 　　　　　　D.從點O再經過點P作射線OP
　　解析：A中直尺應有刻度或利用尺規作圖，B、C是尺規作圖，但還需要圓規.應選D.

　　 11．已知線段MN，畫一條線段AC=MN 的步驟是: 第一步:____________，第二步:_____________，AC就是所要畫的線段.
　　考點：這是尺規作圖作一條線段等于已知線段的步驟，必須掌握.
　　答案: 第一步:作射線AP；第二步:在射線AP上，以A為圓心，以MN為長為半徑截取AC=MN.

　　舉一反三：
　　【變式1】如圖所示，請把線段AB四等分，簡述步驟.
　　　　　　　
　　考點：作線段AB的垂直平分線的方法.
　　作法：步驟:(1)作AB的垂直平分線MN，交AB于O1；(2)作O1A的垂直平分線EF交AB于O2；(3)作O1B的垂直平分線GH交AB于O3，則O1、O2、O3即為線段AB的四等分點.
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 12．如圖所示，在圖中作出點C，使得C是∠MON平分線上的點，且AC=OA， 并簡述步驟.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　思路點撥：用尺規作圖作已知角的平分線，再用圓規截取AC=OA.
　　作法: 作法如下:
　　(1)作∠MON的平分線OB；
　　(2)以A點為圓心，以OA為半徑畫弧交OB于C，連結AC，則C點即為所求.
　　　　　　　　　　　　　
　　總結升華：用尺規作圖中直尺只起到畫線(直線、射線、線段)的作用.而不能用來量取.

　　舉一反三：
　　【變式1】如圖所示，已知∠AOB和兩點M、N，畫一點P，使得點P到∠AOB的兩邊距離相等，且PM=PN，簡述步驟.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　考點：角平分線定理和垂直平分線定理.
　　作法:
　　(1)作∠AOB的平分線OC；
　　(2)連結MN，并作MN的垂直平分線EF，交OC于P，連結PM、PN，則P點即為所求.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知識點四、相交線、平行線
　　 13．（1）（2010湖北襄樊）如圖1，已知直線AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數為（ ）
　　A．150°　　　 B．130°　　　 C．120° 　　　D．100°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖1．
　　答案：C

　　（2）如圖，AD∥BC，AC與BD相交于O，則圖中相等的角有_________對.
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　思路點撥：兩直線平行，內錯角相等；兩直線相交，所得的對頂角相等.
　　解析：∵AD∥BC ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
　　　　　不要忽略對頂角相等：∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC，故應填4對.

　　 14．（1）如圖所示，下列條件中，不能判斷 的是( )
　　　　　　　　　　　　　
　　A.∠1=∠3　　　 B.∠2=∠3 　　　C.∠4=∠5 　　　D.∠2+∠4=180°
　　考點：平行線的判定.
　　解析：根據平行線的判定，A中∠1和∠3是內錯角；C中∠4和∠5是同位角；D中∠2和∠4是同旁內角.不難得到：∠2=∠3不能判斷 .應選B.

　　（2）（2010福建寧德）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，如果∠1=35°，那么∠2是_______°．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　考點：平行線的性質.
　　答案：55
　　
　　舉一反三：
　　【變式1】(1)如圖，若AB∥CD，則∠A、∠E、∠D之間的關系是( ).
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.∠A+∠E+∠D=180°　　 B.∠A-∠E+∠D=180°　　
　　C.∠A+∠E-∠D=180° 　　D.∠A+∠E+∠D=270°

　　(2)如圖所示， ∥ ，∠1=120°，∠2=100°，則∠3=( ).
　　　　　　　　　　　
　　A.20° 　　　B.40°　　　 C.50°　　　 D.60°
　　考點：平行線的性質
　　思路點撥：通過觀察圖形，可作出一條輔助線，從而把問題化難為易.
　　　　　　　　　　　　 　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　　　　　　　　　　　　 (2)
　　解析：(1)如(1)圖，過E作EF∥AB，則也平行于CD，∴∠A+∠AEF=180° ∠FED=∠D
　　　　　　 ∴∠A+∠AEF=∠A+∠AED-∠D=180°，故選C.
　　　　　(2)如(2)圖，過O作 ，則OB也平行于 ，∴∠1+∠BOC=180°，∠3=∠AOB，
　　　　　　 ∴∠BOC=180°-∠1=180°-120°=60°，∴∠3=∠AOB=∠2-∠BOC=100°-60°=40°.

　　 15．（1）兩平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線( )
　　A.互相重合 　　　B.互相平行 　　　C.互相垂直 　　　D.相交
　　考點：平行線的性質和判定.
　　思路點撥：利用平行線的性質和判定，結合角平分線的定義解決問題.如圖，a∥b，所以同位角相等；所以同位角的一半也相等，即∠1=∠2，所以同位角的平分線互相平行.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　答案：選B.

　　（2）(2010重慶市)如圖，點B是△ADC的邊AD的延長線上一點，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，則∠CDB的度數等于（ ）
　　A．70° 　　　B．100°　　　 C．110° 　　　D．120°
　　　　　　　　　　　　
　　思路點撥：由DE∥BC，得∠CDE＝∠C＝50°，所以∠CDB=∠CDE+∠BDE=110°
　　答案：C
　　
　　舉一反三：
　　【變式1】如圖，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度數.
　　　　　　　　　　　　　
　　思路點撥：由平行線的性質和角平分線定義求出結果.
　　解：∵DE∥BC，∠AED=80°
　　　　∴∠ACB=∠AED=80° ∠EDC=∠DCB
　　　　∵CD平分∠ACB
　　　　∴∠DCB= ∠ACB =40°
　　　　∴∠EDC=∠DCB.

　　【變式2】如圖，已知AB∥CD ，∠DAB=∠DCB，AE平分∠DAB，且交BC于E，CF平分∠DCB，且交AD于F.求證: AE∥FC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　思路點撥：這類問題可由題設出發找結論，也可由結論出發找題設.
　　證明：∵AB∥CD 　∴∠ABC+∠BCD=180°
　　　　　∵∠DAB=∠BCD 　 ∴∠ABC+∠DAB=180°
　　　　　∴AD∥BC 　　∴∠DAE=∠BEA
　　　　　∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB
　　　　　∴∠DAE= ∠DAB，∠FCB= ∠BCD
　　　　　∴∠DAE=∠FCB 　 ∴∠BEA =∠FCB
　　　　　∴AE∥FC.

　　【變式3】已知：如圖，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，并且∠1+∠2=90°，
　　求證：DA⊥AB.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　思路點撥：這考查學生整體考慮問題的能力，可以從已知推出結論，也可以從結論入手，找出和已知相對應的條件.
　　證明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠CDA
　　　　　∴∠1= ∠ADC，∠2= ∠BCD
　　　　　∵∠1+∠2=90°
　　　　　∴∠ADC+∠BCD=180° ∴AD∥BC ∴∠A+∠B=180°
　　　　　∵CB⊥AB ∴∠B=90° ∴∠A=180°-∠B=180°-90°=90° ∴DA⊥AB.

　　【變式4】求證：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角的平分線互相平行.
　　思路點撥:考查學生解決這種證明題要先根據題意畫出圖形，再改寫成已知、求證的幾何語言形式的命題.
　　已知：如圖，AB∥CD，EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線.
　　求證：EG∥FR.
　　　　　　　　　　
　　證明：∵AB∥CD(已知)
　　　　　∴∠BEF=∠EFC(兩直線平行，內錯角相等)
　　　　　∵EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線(已知)
　　　　　∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC(角平分線定義)
　　　　　∴2∠1=2∠2(等量代換)
　　　　　∴∠1=∠2(等式性質)
　　　　　∴EG∥FR(內錯角相等，兩直線平行)

知識點五、命題、定理
　　 16．（1）（2010浙江溫州）下列命題中，屬于假命題的是( )
　　A．三角形三個內角的和等于l80°　　　B．兩直線平行，同位角相等
　　C．矩形的對角線相等 　　　　　　　　D．相等的角是對頂角．
　　答案：D

　　（2）判斷下列語句是不是命題
　　①延長線段AB( )
　　②兩條直線相交，只有一交點( )
　　③畫線段AB的中點( )
　　④若x=2，則x=2( )
　　⑤角平分線是一條射線( )
　　思路點撥：本題考查學生理解命題的概念，判斷語句是否是命題有兩個關鍵，首先觀察是不是一個完整的句子，再觀察是否作出判斷.
　　解析：①兩個語句都沒有作出判斷.
　　答案：①不是 ②是 ③不是 ④是 ⑤是.

　　舉一反三：
　　【變式1】下列語句不是命題的是( )
　　A.兩點之間，線段最短 　　　　B.不平行的兩條直線有一個交點
　　C.x與y的和等于0嗎？　　　　　D.對頂角不相等.
　　解析:理解命題概念，C答案雖然是句子，但沒有作出判斷，D答案是假命題但也是命題.故選C.

　　 17．下列命題中真命題是( )
　　A.兩個銳角之和為鈍角 　　　B.兩個銳角之和為銳角
　　C.鈍角大于它的補角 　　　　D.銳角小于它的余角
　思路點撥：命題分為真命題、假命題.正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題.
　解析：A、B中兩個銳角之和可能是銳角、直角和鈍角；D中的銳角不一定小于它的余角，如50° 的余角是40°.應選C

　　舉一反三：
　　【變式1】命題：①對頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對頂角；④同位角相等.其中假命題有( )
　　A.1個 　　　B.2個　　　 C.3個　　　 D.4個
　　解析：③中，應掌握相等的角不一定是對頂角，但對頂角一定相等；④中只有兩平行直線被第三條直線所截，同位角才能相等.故③④是假命題.應選B.

　　 18．分別寫出下列各命題的題設和結論.
　　(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
　　(2)同旁內角互補，兩直線平行.
　　思路點撥：命題分為題設和結論兩部分，可以寫成“如果……，那么……”的形式.
　　答案：(1)題設：a∥b，b∥c，結論：a∥c；
　　　　　(2)題設：兩條直線被第三條直線所截得的同旁內角互補，
　　 結論：這兩條直線平行.

　　舉一反三：
　　【變式1】分別把下列命題寫成“如果……，那么……”的形式.
　　(1)兩點確定一條直線； (2)等角的補角相等； (3)內錯角相等.
　　答案：(1)如果有兩個定點，那么過這兩點有且只有一條直線
　　　　　(2)如果兩個角分別是兩個等角的補角，那么這兩個角相等.
　　　　　(3)如果兩個角是內錯角，那么這兩個角相等.
中考題萃
一、考試目標：
　　了解直線、射線、線段的概念和性質以及表示方法，掌握三者之間的區別和聯系，會解決與線段有關的實際問題；了解角的概念和表示方法，會把角進行分類以及角的度量和計算；掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點、性質和判定；了解命題的定義、結構、表達形式和分類，會簡單的證明有關命題.

二、中考真題：
　　1.（2010山東威海）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，則∠CAE的度數是（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．40°　　　 B．60°　　　 C．70° 　　　D．80°

　　2．(巴中市)如圖，“?”是電視機常用尺寸，1?約為大拇指第一節的長，則7?長相當于( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.一支粉筆的長度　　　　　B.課桌的長度
　　C.黑板的寬度　　　　　　　D.數學課本的長度

　　3．(青海省西寧市)(3分)如果 和 互補，且 ，則下列表示 的余角的式子中：
　 　　① ；② ；③ ；④ .正確的有( )
　　A.4個 　　　B.3個　　　 C.2個　　　 D.1個

　　4．(湖南省湘西自治州)(3分)如圖，直線AB、CD相交于O點，若 ，則∠2、∠3的度數分別為( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.120°、60°　　　 B.130°、50°
　　C.140°、40°　　　 D.150°、30°

　　5．（2010四川內江）將一副三角板如圖放置，使點A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的度數為（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．45°　　　　B．50°　　　C．60° 　　D．75°

　　6．(四川樂山市)(3分)如圖，直線 相交于點O，OM⊥ ，若 ，則 等于( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.56° 　 B.46° 　　C.45° 　　 D.44°

　　7．(海南省)(2分)如圖，AB、CD相交于點O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度數為( )
　　　　　　　　　　　　　　
　　A. 80°　　　 B. 90°　　　 C. 100°　　　 D. 110°

　　8．(湖北省荊州市)(3分) 將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結論：(1)∠1=∠2；
　 　　(2)∠3=∠4；(3)∠2+∠4=90°；(4)∠4+∠5=180°，其中正確的個數是( )
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.1 　　　B.2　　　 C.3 　　　D.4

　　9．(四川宜賓市)(3分)如圖，AB∥CD，直線PQ分別交AB、CD于點F、E，EG是∠FED的平分線，交AB于點
　 　　G. 若∠QED=40°，那么∠EGB等于( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A. 80° 　　　B. 100°　　　C. 110°　　　 D．120°

　　10．(綿陽市)(3分)已知，如圖，∠1=∠2=∠3=55°，則∠4的度數等于( )
　　　　　　　　　　　　　
　　A.115°　　　 B.120°　　　 C.125°　　　 D.135°

　　11．(新疆自治區)(5分)如圖，下列推理不正確的是( )
　　　　　　　　　　　
　　A.∵AB∥CD ∴∠ABC+∠C=180°　　　　　B.∵∠1=∠2 ∴AD∥BC
　　C.∵AD∥BC ∴∠3=∠4　　　　　　　　　D.∵∠A+∠ADC=180° ∴AB∥CD


　　12．（2010 山東荷澤）如圖，直線PQ∥MN，C是MN上一點，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，
　　　　如果∠FBQ＝50°，則∠ECM的度數為（ ）
　　A．60°　　　 B．50° 　　　C．40°　　　 D．30°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　13. （2010江西）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，則∠ABC+∠BCD＝
　　　　_____________度．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　14．(湖南省株洲市)(3分)已知A、B、C三點在同一條直線上，M、N分別為線段AB、BC的中點，且
　　　　AB=60，BC=40，則MN的長為___________.

　　15．(內蒙古)(3分)已知： ，則 的補角是_________度.

　　16．(湖南省)(3分)如圖， 與 相交于點 ， ， ，則 _____度.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　17．(廣州)(3分)如圖，∠1=70°，若m∥n，則∠2=________.
　　　　　　　　　　

　　18．(寧夏回族自治區)(3分)如圖，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC =65°，則∠BCD=________度.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　19．(浙江義烏)(5分)如圖，若 ， 與 分別相交于點 ， 與 的平
　　　　分線相交于點 ，且 ， ________度.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　20．(湛江市)(4分)如圖，請寫出能判定CE∥AB的一個條件_________.
　　　　　　　　　　　　

　　21．(四川省資陽市)如圖，在地面上有一個鐘，鐘面的12個粗線段刻度是整點時時針(短針)所指的位
　　　　置.根據圖中時針與分針(長針)所指的位置，該鐘面所顯示的時刻是______時_______分.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　22．(湖北省襄樊市)(3分)如圖，在銳角 內部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可
　　　　得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；……照此規律，畫10條不同射線，可得銳角_____個.
　　　　　

　　23．(杭州市)如圖， 已知 ， 用直尺和圓規求作一個 ， 使得 .
　　　　(只須作出正確圖形， 保留作圖痕跡， 不必寫出作法)
　　　　　　　　　　　　

　　24. （2010廣東茂名）如圖，梯子的各條橫檔互相平行，若∠1=70o，則∠2的度數是（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．80o 　　　B．110o 　　　C．120o　　　 D．140o
　　
答案解析：
　　1.C 2.D　 3.B　 4.D　 5.D　 6.B 7.C　 8.D　 9. C 10.C　 11.C 12.C

　　13.270°　14．10或50　　　15．120　　 　16．36°　　　17．70° 　　 18．25　　 19．60

　　20．∠CDE=∠A、∠BCE=∠B、∠ACE+∠A=180°(不唯一)　 　21．9，12　 　　22．66

　　23．作圖如下， 即為所求作的 .


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