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2013年北京市高級中等學校招生考試
數(shù)學試卷　解析
滿分120分，考試時間120分鐘
一、（本題共32分，每小題4分）
下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的。
1. 在《關于促進城市南部地區(qū)加快發(fā)展第二階段行動計劃（2013-2015）》中，北京市提出了總計約3 960億元的投資計劃。將3 960用科學計數(shù)法表示應為
A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104
答案：B
解析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3 960＝3.96×103
2. 的倒數(shù)是
A. B. C. D.
答案：D
解析： 的倒數(shù)為 ，所以， 的倒數(shù)是
3. 在一個不透明的口袋中裝有5個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，5，從中隨機摸出一個小球，其標號大于2的概率為
A. B. C. D.
答案：C
解析：大于2的有3、4、5，共3個，故所求概率為
4. 如圖，直線 ， 被直線 所截， ∥ ，∠1=∠2，若∠3=40°，則∠4等于
A. 40° B. 50°
C. 70° D. 80°
答案：C
解析：∠1＝∠2＝ （180°－40°）＝70°，由兩直線平行，內錯相等，得
∠4＝70°。
5. 如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上。若測得BE=20m，EC=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于
A. 60m B. 40m
C. 30m D. 20m
答案：B
解析：由△EAB∽△EDC，得： ，即 ，解得：AB＝40
6. 下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是
答案：A
解析：B既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；C只是軸對稱圖形；D既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，只有A符合。
7. 某中學隨機地調查了50名學生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結果如下表所示：
時間（小時）5678
人數(shù)1015205
則這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是
A. 6.2小時 B. 6.4小時 C. 6.5小時 D. 7小時
答案：B
解析：平均體育鍛煉時間是 ＝6.4小時。
8. 如圖，點P是以O為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB=2，設弦AP的長為 ，△APO的面積為 ，則下列圖象中，能表示 與 的函數(shù)關系的圖象大致是
答案：A
解析：很顯然，并非二次函數(shù)，排除 ；
采用特殊位置法；
當 點與 點重合時，此時 ， ；
當 點與 點重合時，此時 ， ；
本題最重要的為當 時，此時 為等邊三角形， ；
排除 、 、 .選擇 .
【點評】動點函數(shù)圖象問題選取合適的特殊位置，然后去解答是最為直接有效的方法
二、題（本題共16分，每小題4分）
9. 分解因式： =_________________
答案：
解析：原式＝ ＝
10. 請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，1）的拋物線的解析式__________
答案：y＝x2＋1
解析：此題答案不唯一，只要二次項系數(shù)大于0，經過點（0,1）即可。
11. 如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為__________
答案：20
解析：由勾股定理，得AC＝13，因為BO為直角三角形斜邊上的中線，所以，BO＝6.5，由中位線，得MO＝2.5，所以，四邊形ABOM的周長為：6.5＋2.5＋6＋5＝20
12. 如圖，在平面直角坐標系 O 中，已知直線： ，雙曲線 。在上取點A1，過點A1作 軸的垂線交雙曲線于點B1，過點B1作 軸的垂線交于點A2，請繼續(xù)操作并探究：過點A2作 軸的垂線交雙曲線于點B2，過點B2作 軸的垂線交于點A3，…，這樣依次得到上的點A1，A2，A3，…，An，…。記點An的橫坐標為 ，若 ，則 =__________， =__________；若要將上述操作無限次地進行下去，則 不能取的值是__________
答案：
解析：根據(jù) 求出 ；根據(jù) 求出 ；
根據(jù) 求出 ；
根據(jù) 求出 ；
根據(jù) 求出 ；
根據(jù) 求出 ；
至此可以發(fā)現(xiàn)本題為循環(huán)規(guī)律，3次一循環(huán)，∵ ；
∴ ；
重復上述過程，可求出 、 、 、 、 、 、 ；
由上述結果可知，分母不能為 ，故 不能取 和 .
【點評】找規(guī)律的題目，規(guī)律類型有兩種類型，遞進規(guī)律和循環(huán)規(guī)律，對于循環(huán)規(guī)律類型，
多求幾種特殊情況發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律是最重要的.
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13. 如圖，已知D是AC上一點，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。
求證：BC=AE。
解析：
14. 計算： 。
解析：
16、解不等式組：
解析：
16. 已知 ，求代數(shù)式 的值。
解析：
17. 列方程或方程組解：
某園林隊計劃由6名工人對180平方米的區(qū)域進行綠化，由于施工時增加了2名工人，結果比計劃提前3小時完成任務。若每人每小時綠化面積相同，求每人每小時的綠化面積。
解析：
18．已知關于 的一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根
（1）求 的取值范圍；
（2）若 為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求 的值。
解析：
四、解答題（本題共20分，每小題5分）
19．如圖，在□ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，延長BC到點E，使CE= BC，連結DE，CF。
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長。
解析：
20．如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O 相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E。
（1）求證：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA= ，求OE的長。
解析：
21．第九屆中國國際園林博覽會（園博會）已于2013年5月18日在北京開幕，以下是根據(jù)近幾屆園博會的相關數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖的一部分：
（1）第九屆園博會的植物花園區(qū)由五個花園組成，其中月季園面積為0.04平方千米，牡丹園面積為__________平方千米；
（2）第九屆園博會園區(qū)陸地面積是植物花園區(qū)總面積的18倍，水面面積是第七、八兩屆園博會的水面面積之和，請根據(jù)上述信息補全條形統(tǒng)計圖，并標明相應數(shù)據(jù)；
（3）小娜收集了幾屆園博會的相關信息（如下表），發(fā)現(xiàn)園博會園區(qū)周邊設置的停車位數(shù)量與日接待游客量和單日最多接待游客量中的某個量近似成正比例關系，根據(jù)小娜的發(fā)現(xiàn)，請估計將于2015年舉辦的第十屆園博會大約需要設置的停車位數(shù)量（直接寫出結果，精確到百位）。
第七屆至第十屆園博會游客量與停車位數(shù)量統(tǒng)計表
日均接待游客量
（萬人次）單日最多接待游客量
（萬人次）停車位數(shù)量
（個）
第七屆0.86約3 000
第八屆2.38.2約4 000
第九屆8（預計）20（預計）約10 500
第十屆1.9（預計）7.4（預計）約________
解析：
22．下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為 的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積。
小明發(fā)現(xiàn)：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）
請回答：
（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個新的正方形的邊長為__________；
（2）求正方形MNPQ的面積。
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ，若 ，則AD的長為__________。
解析：
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．在平面直角坐標系 O 中，拋物線
（ ）與 軸交于點A，其對稱軸與 軸交于點B。
（1）求點A，B的坐標；
（2）設直線與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；
（3）若該拋物線在 這一段位于直線的上方，并且在 這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式。
解析：【解析】（1）當 時， .
∴
拋物線對稱軸為
∴
（2）易得 點關于對稱軸的對稱點為
則直線 經過 、 .
沒直線的解析式為
則 ，解得
∴直線的解析式為
（3）∵拋物線對稱軸為
拋物體在 這一段與在 這一段關于對稱軸對稱
結合圖象可以觀察到拋物線在 這一段位于直線 的上方
在 這一段位于直線 的下方；
∴拋物線與直線 的交點橫坐標為 ；
當 時，
則拋物線過點（-1，4）
當 時， ，
∴拋物線解析為 .
【點評】本題第(3)問主要難點在于對數(shù)形結合的認識和了解，要能夠觀察到直線 與直線
關于對稱軸對稱，
∵拋物線在 這一段位于直線 的下方，
∴關于對稱軸對稱后拋物線在 這一段位于直線 的下方；
再結合拋物線在 這一段位于直線 的上方;
從而拋物線必過點 .
24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC= （ ），將線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD。
（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大小（用含 的式子表示）；
（2）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）在（2）的條件下，連結DE，若∠DEC=45°，求 的值。
解析：【解析】（1）
（2） 為等邊三角形[
證明連接 、 、
∵線段 繞點 逆時針旋轉 得到線段
則 ，
又∵
∴
且 為等邊三角形.
在 與 中
∴ ≌ （SSS）
∴
∵
∴
在 與 中
∴ ≌ （AAS）
∴
∴ 為等邊三角形
（3）∵ ，
∴
又∵
∴ 為等腰直角三角形
∴
∵
∴
而
∴
【點評】本題是初中數(shù)學重要模型“手拉手”模型的應用，從本題可以看出積累掌握常見模
型、常用輔助線對于平面幾何的學習是非常有幫助的.
25．對于平面直角坐標系 O 中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關聯(lián)點。
已知點D（ ， ），E（0，-2），F(xiàn)（ ，0）
（1）當⊙O的半徑為1時，
①在點D，E，F(xiàn)中，⊙O的關聯(lián)點是__________；
②過點F作直線交 軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P（ ， ）是⊙O的關聯(lián)點，求 的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，求這個圓的半徑 的取值范圍。
解析：【解析】(1) ① ；
② 由題意可知，若 點要剛好是圓 的關聯(lián)點；
需要點 到圓 的兩條切線 和 之間所夾
的角度為 ；
由圖 可知 ，則 ，
連接 ，則 ；
∴若 點為圓 的關聯(lián)點；則需點 到圓心的距離 滿足 ；
由上述證明可知，考慮臨界位置的 點，如圖2；
點 到原點的距離 ；
過 作 軸的垂線 ，垂足為 ；
；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
易得點 與點 重合，過 作 軸于點 ；
易得 ；
∴ ；
從而若點 為圓 的關聯(lián)點，則 點必在線段 上；
∴ ；
(2) 若線段 上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，
則這個圓的圓心應在線段 的中點；
考慮臨界情況，如圖3；
即恰好 點為圓 的關聯(lián)時，則 ；
∴此時 ；
故若線段 上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，
這個圓的半徑 的取值范圍為 .
【點評】“新定義”問題最關鍵的是要能夠把“新定義”轉化為自己熟悉的知識，通過第(2)問開
頭部分的解析，可以看出本題的“關聯(lián)點”本質就是到圓心的距離小于或等于 倍半
徑的點.
了解了這一點，在結合平面直角坐標系和圓的知識去解答就事半功倍了.
2013年北京市中考數(shù)學試題難點解析
2013 年北京市中考試卷數(shù)學試題整體難度較 2014 年有所下降。從近四年（2009-2014）北京中考數(shù)學試題的難易程度可以看出北京市中考數(shù) 學整體大小年的規(guī)律。2013 年北京中考數(shù)學平均分預計將較去年有所提升。
本套試卷在保持對基礎知識的考察力度上，更加重視對數(shù)學思想方法和學生綜合素質能 力的考察，體現(xiàn)了“實踐與操作，綜合與探究，創(chuàng)新與應用”的命題特點，與中考考試說明 中 C 級要求相呼應。
一、試題的基本結構：
整個試卷五道大題、25個題目，總分120分。
其中包括（共8個題目，共32分）、
題（共4個題目，共16分）、
解答題（包括，證明題、和綜合題；共13個題目，共72分）。
1. 題型與題量
選擇題填空題解答題
題數(shù)分值題數(shù)分值題數(shù)分值
8324161372
2. 考查的內容及分布
從試卷考查的內容來看，幾乎覆蓋了數(shù)學《課程標準》所列的主要知識點，并且對初中數(shù)學的主要內容都作了重點考查。
內容數(shù)與代數(shù)圖形與空間統(tǒng)計與概率
分值604713
3. 每道題目所考查的知識點
題型題號考查知識點
選
擇
題1科學記數(shù)法
2有理數(shù)的概念（倒數(shù)）
3概率
4平行線的性質
5相似三角形
6軸對稱、中心對稱
7平均數(shù)
8圓中的動點的函數(shù)圖像
填
空
題9因式分解（提公因式法、公式法）
10拋物線的解析式
11矩形、中位線
12函數(shù)綜合找規(guī)律（循環(huán)規(guī)律）
解
答
題
一13三角形全等證明
14實數(shù)運算（0次冪、-1次冪、絕對值、特殊角三角函數(shù)）
15解一元一次不等式組
16代數(shù)式化簡求值（整體代入）
17列分式方程解應用題
18一元二次方程（判別式、整數(shù)解）
解
答
題
二19梯形中的計算（平行四邊形判定、梯形常用輔助線作法、特殊三角形的性質）
20圓中的證明與計算（三角形相似、三角函數(shù)、切線的性質）
21統(tǒng)計圖表（折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表）
22操作與探究（旋轉、從正方形到等邊三角形的變式、全等三角形）
解
答
題
三23代數(shù)綜合（二次函數(shù)的性質、一次函數(shù)的圖像對稱、二次函數(shù)的圖像對稱、數(shù)形結合思想、二次函數(shù)解析式的確定）
24幾何綜合（等邊三角形、等腰直角三角形、旋轉全等、對稱全等、倒角）
25代幾綜合（“新定義”、特殊直角三角形的性質、圓、特殊角三角形函數(shù)、數(shù)形結合）
二、命題主要特點：
第 8、12、22、23、24、25 題依舊是比較難的題型，其他題型屬于基礎或者中檔題。近四年北京中考數(shù)學試題這幾道題考查分布：
題型\年份2010201420142013
第 8 題
（創(chuàng)新題）
立體圖形展開圖
動點函數(shù)圖象
動點函數(shù)圖象
動點函數(shù)圖象
第 22 題
（操作與探究）
軸對稱、正方形
平移、等積變換
幾何坐標化、
方 程與方程組正方形、等邊三
角形、全等三角 形
第 23 題
（綜合題）
（代數(shù)綜合）
反比例函數(shù)、旋 轉、恒等變形
（代數(shù)綜合）
二次函數(shù)、一次 函數(shù)、等腰直角 三角形、數(shù)形結 合
（代數(shù)綜合）
二次函數(shù)、一次 函數(shù)、一元二次 方程、函數(shù)圖象 平移、數(shù)形結合
（代數(shù)綜合）
一次函數(shù)、二次 函數(shù)、圖形對稱 數(shù)形結合
第 24 題
（綜合題）（代幾綜合）
二次函數(shù)、等腰 直角三角形、分 類討論、數(shù)形結 合（幾何綜合）
旋轉、等腰直角 三角形、等邊三 角形、直角三角 形、平行四邊形（幾何綜合）
軸對稱、等腰三 角形、倒角
（幾何綜合）
等邊三角形、等 腰直角三角形、 旋轉、倒角
第 25 題
（綜合題）
（幾何綜合）
等腰三角形、軸 對稱、倒角（代幾綜合）
一次函數(shù)、圓、 平行四邊形、分 類討論
（代幾綜合）
“新定義”、一次 函數(shù)、圓、相似
（代幾綜合）
一次函數(shù)、圓、 特殊直角三角形
特點一、題目總體難度降低，23題代數(shù)綜合和25題代幾綜合等壓軸題理解題意仍有一定難度，以體現(xiàn)試卷區(qū)分度，但試題總體難度相較去年有大幅下降。
特點二、題型設置上較以往有微調，例如第1、2題位置調整；第18題的一次函數(shù)綜合體換成了一元二次方程；第19題回歸對梯形的考察；第20題第(1)問沒有考察切線的證明等。
特點三、試題內容上趨于穩(wěn)定，沒有“偏難怪”題，除了25題中的新定義“關聯(lián)點”之外，其他題都較為常規(guī)，較好的體現(xiàn)了“穩(wěn)中求變”的命題主導思想。
特點四、從試卷中最直觀反應出的是量的減小，去年中考第25題占了一整頁紙，閱讀占了很大比重，今年題型仍然新穎，但閱讀量明顯減少。
特點五、計算量大幅下降，去年19題、20題是幾何計算題，有一定的難度，計算量普遍大，但今年的19題、20題不論解題難度還是計算難度都驟降。
特點六、填空第12題考察循環(huán)規(guī)律，與前2年的遞進規(guī)律類型有所不同，當然如果重視觀察能力和精確作圖能力，也可以很容易發(fā)現(xiàn)四次變化后回到 。
特點八、延續(xù)了去年和前年的改革方向，增加對圓的考察，例如選擇題第8題、解答題第20題。解答題第25題都涉及圓的知識。
特點九、考察學生對于知識點的深入理解能力逐漸加大。解答題第23題第三小問，重點考察直線與拋物線位置關系的深入理解，難度較大。
三、重難易錯題目點評：
1. 易錯題目
易錯題號錯誤原因
8易被圓的對稱性誤導，從而誤認為函數(shù)圖象為對稱圖像
12前2年均為遞進規(guī)律，形成思維定勢，不太容易抓住本質規(guī)律（循環(huán)規(guī)律）
17分式方程應用題忘記檢驗
2. 難題
難題題號不得分原因
22沒看懂題，不理解圖2的作用是什么
23利用對稱來進行數(shù)形結合練得比較少，抓不住第(3)問的關鍵
24對重要全等模型“手拉手”不熟悉，很難發(fā)現(xiàn)如何構造三角形全等；倒角證明三角形全等也是本題的難點
25題目沒讀懂，沒有理解“新定義”的關鍵是到原點的距離要小于半徑的2倍
總體來看，2013年并沒有出現(xiàn)一點兒都無從下手的題目，體現(xiàn)了很好的梯度，讓學生上手容易拿全難，有比較好的區(qū)分度，這是北京中考命題的一大特點，相信2014年也會是這種形式。


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.bianbian123.com/chusan/60153.html

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